Nuestra mente es intrinsecamente no matemática. Uno de los aspectos más curiosos es la dificultad que tenemos en percibir fenómenos aleatorios independientes. Por tendencia natural siempre intentamos establecer correlaciones que casi nunca existen. Dada una sucesión como 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1 inmediatamente estableceremos varios algoritmos que nos genere el siguiente término de la sucesión.
Este fenómeno está en el origen de muchos errores conceptuales. Muchos juegan a la Primitiva apostando a los números que no han salido, pensando que necesariamente tienen más posibilidades de aparecer en el próximo sorteo. Inconscientemente tienen la convicción que debe existir una correlación entre sorteos diferentes. Paradojicamente creen eso porque entienden mal la noción de equiprobabilidad y de independencia. Otro error común es pensar que jugando a cara o cruz, esperando suficientemente, en cierto momento deberías ganar o quedarte a la par. Ejercicio: Demostrar que no es cierto.
Estos "bias" psicológicos se presentan constantemente en los mercados de valores, dónde las reacciones humanas de miedo y codicia afloran. El "análisis técnico" es una pseudo-ciencia que intenta entender y explotar estos aspectos mediante el estudio de patrones comunes en las variaciones de precios. El medio académico han despreciado tradicionalemente el Análisis Técnico poniéndolo al mismo nivel que la astrología. Sin embargo los "traders" profesionales les responden que lo que es irrealista es la hipótesis del mercado eficiente.
¿Alguien sabe cómo explotar estos defectos humanos para jugar a la Primitiva con ventaja?
miércoles, 15 de agosto de 2007
martes, 14 de agosto de 2007
Las tres montañas
La independencia del quinto postulado de Euclides (Por todo punto externo a una recta pasa una única recta paralela) de los otros axiomas de la geometría euclidea es otro de los problemas clasicos resueltos durante el siglo XIX.En geometría euclidea la suma de los ángulos de un triángulo es el ángulo plano (demostrarlo). Esto se deduce del quinto postulado de Euclides. Y se puede demostrar que le es equivalente.
¿Cómo se demuestra que un axioma es realmente independiente de los demas? Para ello es necesario demostrar la existencia de otra teoria que satisfaga todos los otros axiomas excepto este. Lobachetski y Bolai (hijo) desarrollaron independientemente estas geometrias no-euclideas. De nuevo en esto se cita y da crédito a Gauss de forma bastante gratuita. No publicó realmente trabajos sobre este
problema.Estas geometrías fueron calificadas de "imaginarias" pues se desarrollaron sin un modelo concreto. Con el proceso de maduración que ya conocemos, el problema fue totalmente resulto en cuanto se explicitaron representaciones concretas de estas geometrías. Esto vino más tarde de la mano de Beltrami y Poincaré.
La dificultad del problema consistía en imaginar geometrías distintas de la euclidea: Había que reemplazar rectas por geodésicas. Estás geométrías son abundantes: En la superficie de la esfera tenemos ejemplos de geometría de curvatura positiva, y en la del hyperboloide de revolución (figura) de curvatura negativa.
Más tarde Klein entendió la esencia de las geometrías mediante sus grupos naturales de transformaciones. También antes Riemann dio un paso de gigante al concebir, por primera vez en la historia, geométrías intrinsecas, esto es, que no necesitan estar embebidas en un espacio euclideo (esta es la conclusión a la que se llega después de descubrir como trabaja con métricas finslerianas no Riemannianas en su célebre discurso inaugural).
Ejercicio de reflexión: Entender que distingue al círculo euclideo en el plano del segmento [0,1] después de identificar 0 y 1. Si viviesemos en un mundo uno-dimensionale y viviesemos en uno u otro círculo ¿Cómo lo sabríamos?
lunes, 13 de agosto de 2007
La jota de la roseta
Los polígonos regulares han sido un tema predilecto de los geómetras quienes se han dedicado a construirlos y estudiarlos desde las épocas más remotas. Algunas de las más bellas tablillas babilónicas son precisamente aquellas que contienen figuras geométricas entre las que abundan los polígonos regulares.
La constructibilidad por regla y compás sólo empieza a plantearse como problema a partir de la época griega. Los tres problemas más famosos son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo, y la trisección del ángulo. Ya desde ese tiempo se descubrieron soluciones "transcendentes", esto es, utilizando algo más que la regla y el compás (típicamente una curva no circular de la cual podemos encontrar un conjunto denso de puntos mediante regla y compás). Sin embargo hubo que esperar mucho más para la demostración de su imposibilidad.
Otro problema que ocupaba a los griegos era la construcción de polígonos regulares mediante regla y compás. Sin duda los babilonios conocían bastante más que la construcción clásica del hexágono. Por cierto, que basta de una moneda para construir los vértices. Euclides da en sus elementos la construcción del pentágono regular. Pasar de n lados a 2n es fácil (Ejercicio: Demostrarlo). El primer polígono sin construcción es el heptágono.
Durante 2000 años no hubo ningún progreso en este problema hasta que un joven Gauss demostró la constructibilidad del polígono de 17 lados. No sólo eso, sinó que en sus "Disquisiciones Arithmeticae" (1801) demuestra la constructibilidad de todo polígono regular de n lados cuando n es un primo de Fermat, esto es de la forma F(n)=2^(2^n)+1. Los primeros primos de Fermat son 3, 5, 17, 257, 65537. Fermat conjeturo que eran todos primos, pero Euler demostró que F(5)=4294967297 era divisible por 641 (verificarlo), y se continua sin conocer ninguno más que sea primo.
De todos es conocida la precocidad de Gauss. Uno de los grandes, pero lamentablemente una figura tal vez exageradamente idolatrada. Gauss literalmente cambio el sentido de hacer Matemáticas e introdujo un rigor y precisión desconocido hasta la época, con la notable excepción de la geometría clásica y los elementos de Euclides. En cierta manera se aprovechó de esto, de forma poco honrosa, y ello está en el origen de las agrias polémicas con Legendre en sus disputas de prioridad sobre la fórmula de reciprocidad y la conjetura sobre la distribución asintótica de números primos.
La teoría de la ecuación ciclotómica (x^n-1=0) desarrollada en las "Disquisiciones Arithmeticae" demuestra que todo polígono regular de n lados es constructible cuando n sólo es divisible por 2 o primos de Fermat, pero no por el cuadrado de ningún primo impar. Sin embargo es absolutamente falso que la necesidad de esta condición fuese demostrada por Gauss cómo regimientos de historiadores e insignes matemáticos (algunos sospechosos de germanofilia) han venido escribiendo desde el siglo XIX. Aunque Gauss lo afirma sin demostración, jamás lo publicó ni se encontró la demostración en los manuscritos que dejó. Para ello le hubiese sido necesario desarrollar una parte de la teoría de Galois creada por Galois y Abel. Como algunos ya han observado, la no constructibilidad del polígono regular de 9 lados implica la imposibilidad de trisecar un ángulo de 120 grados y hubiese resuelto Gauss también el problema de la trisección del ángulo. Paradójicamente esta sí se atribuye correctamente al joven matemático francés Pierre Wantzel (1837) contemporaeo de Galois y Abel.
Estos errores de atribuciones históricas tienen su explicación. Por una parte, cómo alguien dijo en cierta ocasión, nadie lee los textos clásicos importantes. Este es un defecto más propio de los Matemáticos profesionales que de los historiadores de las Matemáticas. Además existe una tendencia natural de sobrevalorar y nunca cuestionar a los matemáticos iconizados. Este error lo padecen tanto los matemáticos profesionales como los historiadores. Añadiremos a esto que una vez que se repite el error, un fenómeno bien conocido de psicología social, hace muy difícil que se replantee la cuestión de forma crítica. Actualmente oimos cómo, cuales papagayos, unos y otros se llenán la boca repitiendo lo fantástico de tal o cual solución reciente de un célebre problema. Se permiten proclamarlo en la prensa enfangando nuestra ciencia. Pero... ¿Cuantos han leido y entendido la demostración? Querido lector...un secreto...la mayoría de veces ninguno...
Volviendo a las construcciones con regla y compás, las demostraciones sobre su imposibilidad se basan en una observación relativamente simple. A partir de puntos con coordenadas racionales, sólo podemos construir isando regla y compás puntos cuyas coordenadas satisfacen ecuaciones mínimas con coeficientes enteros cuyo grado es una potencia de dos. Esto es fácil demostrarlo estudiando las ecuaciones de intersección de círculos y rectas. Este es el principio de base del artículo de Wantzel que demuestra la imposibilidad de duplicar el cubo (la raíz cúbica de dos satisface la ecuación mínima de grado 3), trisecar el ángulo, o construir polígonos regulares sin la condición de Gauss.
Para la cuadratura del círculo habría que esperar casi medio siglo más a que Lindemann demostrase en 1882 (extendiendo los métodos de Hermite para e, la base del logaritmo neperiano) que π es transcendente.
Ejercicio del día: Explicar porqué estos dibujos se parecen (aunque el de la izquierda sea un pentágono también los hay con forma hexágonal). ¿Nos da esto una pista sobre el origen del casquete hexagonal de Saturno?
La constructibilidad por regla y compás sólo empieza a plantearse como problema a partir de la época griega. Los tres problemas más famosos son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo, y la trisección del ángulo. Ya desde ese tiempo se descubrieron soluciones "transcendentes", esto es, utilizando algo más que la regla y el compás (típicamente una curva no circular de la cual podemos encontrar un conjunto denso de puntos mediante regla y compás). Sin embargo hubo que esperar mucho más para la demostración de su imposibilidad.
Otro problema que ocupaba a los griegos era la construcción de polígonos regulares mediante regla y compás. Sin duda los babilonios conocían bastante más que la construcción clásica del hexágono. Por cierto, que basta de una moneda para construir los vértices. Euclides da en sus elementos la construcción del pentágono regular. Pasar de n lados a 2n es fácil (Ejercicio: Demostrarlo). El primer polígono sin construcción es el heptágono.
Durante 2000 años no hubo ningún progreso en este problema hasta que un joven Gauss demostró la constructibilidad del polígono de 17 lados. No sólo eso, sinó que en sus "Disquisiciones Arithmeticae" (1801) demuestra la constructibilidad de todo polígono regular de n lados cuando n es un primo de Fermat, esto es de la forma F(n)=2^(2^n)+1. Los primeros primos de Fermat son 3, 5, 17, 257, 65537. Fermat conjeturo que eran todos primos, pero Euler demostró que F(5)=4294967297 era divisible por 641 (verificarlo), y se continua sin conocer ninguno más que sea primo.
De todos es conocida la precocidad de Gauss. Uno de los grandes, pero lamentablemente una figura tal vez exageradamente idolatrada. Gauss literalmente cambio el sentido de hacer Matemáticas e introdujo un rigor y precisión desconocido hasta la época, con la notable excepción de la geometría clásica y los elementos de Euclides. En cierta manera se aprovechó de esto, de forma poco honrosa, y ello está en el origen de las agrias polémicas con Legendre en sus disputas de prioridad sobre la fórmula de reciprocidad y la conjetura sobre la distribución asintótica de números primos.
La teoría de la ecuación ciclotómica (x^n-1=0) desarrollada en las "Disquisiciones Arithmeticae" demuestra que todo polígono regular de n lados es constructible cuando n sólo es divisible por 2 o primos de Fermat, pero no por el cuadrado de ningún primo impar. Sin embargo es absolutamente falso que la necesidad de esta condición fuese demostrada por Gauss cómo regimientos de historiadores e insignes matemáticos (algunos sospechosos de germanofilia) han venido escribiendo desde el siglo XIX. Aunque Gauss lo afirma sin demostración, jamás lo publicó ni se encontró la demostración en los manuscritos que dejó. Para ello le hubiese sido necesario desarrollar una parte de la teoría de Galois creada por Galois y Abel. Como algunos ya han observado, la no constructibilidad del polígono regular de 9 lados implica la imposibilidad de trisecar un ángulo de 120 grados y hubiese resuelto Gauss también el problema de la trisección del ángulo. Paradójicamente esta sí se atribuye correctamente al joven matemático francés Pierre Wantzel (1837) contemporaeo de Galois y Abel.
Estos errores de atribuciones históricas tienen su explicación. Por una parte, cómo alguien dijo en cierta ocasión, nadie lee los textos clásicos importantes. Este es un defecto más propio de los Matemáticos profesionales que de los historiadores de las Matemáticas. Además existe una tendencia natural de sobrevalorar y nunca cuestionar a los matemáticos iconizados. Este error lo padecen tanto los matemáticos profesionales como los historiadores. Añadiremos a esto que una vez que se repite el error, un fenómeno bien conocido de psicología social, hace muy difícil que se replantee la cuestión de forma crítica. Actualmente oimos cómo, cuales papagayos, unos y otros se llenán la boca repitiendo lo fantástico de tal o cual solución reciente de un célebre problema. Se permiten proclamarlo en la prensa enfangando nuestra ciencia. Pero... ¿Cuantos han leido y entendido la demostración? Querido lector...un secreto...la mayoría de veces ninguno...
Volviendo a las construcciones con regla y compás, las demostraciones sobre su imposibilidad se basan en una observación relativamente simple. A partir de puntos con coordenadas racionales, sólo podemos construir isando regla y compás puntos cuyas coordenadas satisfacen ecuaciones mínimas con coeficientes enteros cuyo grado es una potencia de dos. Esto es fácil demostrarlo estudiando las ecuaciones de intersección de círculos y rectas. Este es el principio de base del artículo de Wantzel que demuestra la imposibilidad de duplicar el cubo (la raíz cúbica de dos satisface la ecuación mínima de grado 3), trisecar el ángulo, o construir polígonos regulares sin la condición de Gauss.
Para la cuadratura del círculo habría que esperar casi medio siglo más a que Lindemann demostrase en 1882 (extendiendo los métodos de Hermite para e, la base del logaritmo neperiano) que π es transcendente.
Ejercicio del día: Explicar porqué estos dibujos se parecen (aunque el de la izquierda sea un pentágono también los hay con forma hexágonal). ¿Nos da esto una pista sobre el origen del casquete hexagonal de Saturno?
domingo, 12 de agosto de 2007
Sexo en Mongo
Sobre las cuestiones de sexo y Matemáticas no nos aventuraremos por el momento...aunque habría bastante que decir sobre las técnicas de ligoteo, que al fin y al cabo forman parte de la Teoría de Juegos. Reservamos estos temas para cuando la audiencia decaiga.
Más que de "Teoría de Juegos" deberíamos hablar de "Teorías de Juegos" para designar a esta proto-teoría tan interesante, tan incompleta y tan necesitada de principios generales, y que nadie entiende (los primeros los economistas...prometo más adelante hablar de ellos...cuando Sampedro no me dicte la temática del día). Cuando el juego se mezcla además con la intrínseca irracionalidad humana, nos plantea problemas extremadamente interesantes pero de difícil modelización matemática.
Hay poco que añadir a lo que ya manifestamos anteriormente sobre la existencia absoluta de las Matemáticas. No nos parece la cita de Ian Stewart contradictoria con esto. Todo lo contrario. A pesar de que las Matemáticas existen de forma absoluta, las Matemáticas que hacemos los humanos están sin duda condicionadas por nuestra fisiología animal. La formalización y generalización es una lucha constante contra nuestros instintos primitivos, pues tenemos una aversión natural a la abstracción. Esto requiere cierta experiencia y disciplina. Es por ello que es un error enseñar directamente Matemáticas formalizadas. Aparte de Deligne, ¿Quién es capaz de aprender directamente de los libros de Bourbaki? A nivel de enseñanza elemental, esto también es un grave problema. ¿Cuantos grandes Matemáticos se han malogrado de esta manera?
El problema más serio de la enseñanza de las Matemáticas a nivel universitario es el poco aprecio por el desarrollo de la intuición. La intuición también se aprende. Pero hay que practicarla. Esto contrasta radicalmente con el estilo de enseñanza en Física. Deberíamos inspirarnos mucho más de Euler (por cierto, feliz 300 aniversario) y enseñar un poco más de "Magia Matemática".
Ejercicio del día: Imaginen un mundo donde la constante de Planck fuese enorme, tanto que no tuviese sentido "contar". ¿Cómo serían las Matemáticas del los seres inteligentes que habitasen ese mundo? ¿Podrían definir la función exponencial? ¿Cómo?
Para concluir, prometi los escanes de los dibujos originales de Kepler. Aquí van:
Más que de "Teoría de Juegos" deberíamos hablar de "Teorías de Juegos" para designar a esta proto-teoría tan interesante, tan incompleta y tan necesitada de principios generales, y que nadie entiende (los primeros los economistas...prometo más adelante hablar de ellos...cuando Sampedro no me dicte la temática del día). Cuando el juego se mezcla además con la intrínseca irracionalidad humana, nos plantea problemas extremadamente interesantes pero de difícil modelización matemática.
Hay poco que añadir a lo que ya manifestamos anteriormente sobre la existencia absoluta de las Matemáticas. No nos parece la cita de Ian Stewart contradictoria con esto. Todo lo contrario. A pesar de que las Matemáticas existen de forma absoluta, las Matemáticas que hacemos los humanos están sin duda condicionadas por nuestra fisiología animal. La formalización y generalización es una lucha constante contra nuestros instintos primitivos, pues tenemos una aversión natural a la abstracción. Esto requiere cierta experiencia y disciplina. Es por ello que es un error enseñar directamente Matemáticas formalizadas. Aparte de Deligne, ¿Quién es capaz de aprender directamente de los libros de Bourbaki? A nivel de enseñanza elemental, esto también es un grave problema. ¿Cuantos grandes Matemáticos se han malogrado de esta manera?
El problema más serio de la enseñanza de las Matemáticas a nivel universitario es el poco aprecio por el desarrollo de la intuición. La intuición también se aprende. Pero hay que practicarla. Esto contrasta radicalmente con el estilo de enseñanza en Física. Deberíamos inspirarnos mucho más de Euler (por cierto, feliz 300 aniversario) y enseñar un poco más de "Magia Matemática".
Ejercicio del día: Imaginen un mundo donde la constante de Planck fuese enorme, tanto que no tuviese sentido "contar". ¿Cómo serían las Matemáticas del los seres inteligentes que habitasen ese mundo? ¿Podrían definir la función exponencial? ¿Cómo?
Para concluir, prometi los escanes de los dibujos originales de Kepler. Aquí van:
sábado, 11 de agosto de 2007
Intuición elíptica
Las cónicas surgen de forma natural en la geometría euclidea tridimensional como secciones planas de conos. Así fueron estudiadas por Menaechmus, discípulo de Eudoxus (el hombre que entendió los irracionales, como ya vimos), quien las utilizó para dar una solución (sin "regla y compás"...) al famoso problema de la duplicación del cubo (lo cual es el equivalente a la construcción de la raíz cúbica de 2). Es curioso observar como ya desde la antiguedad los mejores matemáticos se organizaban en escuelas.
Esta propiedad seccional es bien conocida por los amantes del chorizo: cortando transversalmente obtenemos rodajas con forma de elipse (observemos que todo cilindro es un cono degenerado).
Más tarde, Apolonio de Perga escribió su tratado enciclopédico sobre las cónicas en ocho volúmenes, el último de ellos perdido para siempre. Las cónicas se dividen en tres tipos: Las elipses (acotadas), las parábolas (no acotadas ni asintóticas a rectas), y las hipérbolas (no acotadas pero asintóticas a dos rectas). Las elipses generalizan los círculos, y esto ha dado mucho juego.
Fagnano y Euler descubrieron que las integrales elípticas, que dan la longitud de arco de las elipses, tienen propiedades aditivas similares a las funciones inversas trigonométricas (a las que de hecho se reducen cuando la elipse es circular). Legendre estudió a fondo las funciones elípticas y similares, las cuales generalizaban las funciones trigonométricas clásicas. Su trabajo fue proseguido por Abel, Galois, Jacobi, Liouville, Riemann, Hermite,...dando lugar a algunas de las más ricas teorías de la Matemática moderna.
Las cónicas tienen interesantes propiedades que las hacen ubicuas, tanto en Matemáticas como en otras ciencias. Matemáticas y Astronomía eran indistinguibles hasta una época muy reciente. Apolonio planteó la teoría de los epiciclos como modelo de movimiento planetario. Esto es, un modelo de movimiento circular compuesto con otro movimiento circular cuyo centro evoluciona en el primer círculo. Pero cómo descubrió Kepler y cuantificó Newton, los movimientos planetarios en el problema de dos cuerpos son cónicas. ¿Cómo se le pudo escapar esto a Apolonio, nuestro gran especialista en cónicas ? Curiosamente nadie se plantea seriamente esta pregunta...
De nuevo vemos precipitarse a regimientos de historiadores en un pozo de ignorancia juzgando la ciencia pasada con un complejo de superioridad otorgado por la ciencia moderna. Les vemos reirse del "error pueril" (sic) de los astrónomos griegos, y ensalzar el avance de Kepler. Sin embargo...en realidad...ríen de su propia ignorancia como vamos a ver.
En efecto, cuando hay más de dos cuerpos, el sistema no es integrable tanto desde el punto de vista de la resolución de las ecuaciones diferenciales como desde el punto de vista dinámico (explicaremos esto más adelante). Es lo que ocurre en el sistema solar, el principal sistema, junto con el del tierra-sol-luna, que interesaba a los griegos (y de los que tenían mediciones precisas desde hacía cientos, sinó miles, de años). Los movimientos reales de los planetas en el sistema solar son cuasi-periódicos. Son perturbaciones de las trayectorias elípticas ideales (que son casi círculos, esto es elipses con muy pequeña excentricidad) de los sistemas binarios planeta-sol. El modelo de los epiciclos aproxima mucho mejor el movimiento real que el del movimiento elíptico. Sobre todo teniendo en cuenta que se pueden construir epiciclos de orden mayor (esto es superponiendo más movimientos circulares pequeños).
¿A qué les suena a ustedes esto de superponer movimientos periódicos? Si señores...los modelos refinados de los epiciclos no son, ni más ni menos, que el analisis de Fourier moderno. Sobre todo el modelo es infinitamente refinable dando cuenta de las mediciones. Todo esto no sólo es válido para el sistema tierra-sol-luna, sinó que incluso es mucho más cierto por la mayor perturbación solar en el sistema binario tierra-luna.
De esto concluimos que el progreso de la teoría de Kepler fue más de orden conceptual que práctico. Y se demostró a posteriori con la teoría de gravitación universal de Newton.
Finalmente queremos concluir intentando explicar algo la noción de integrabilidad. Las elipses pueden definirse no sólo como secciones cónicas, pero también como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. De esto se puede demostrar que en una mesa de billar, si tenemos un agujero en un foco, no importa como lancemos la bola desde el otro foco, esta caerá en el agujero después de rebotar contra la pared. Ejercicio (muy bueno) para el lector: Demostrar esta propiedad utilizando unicamente la definición de elipse que acabamos de dar y la desigualdad triangular (¡prohibido usar coordenadas!).
Dada una mesa de billar convexa y sin agujeros esta vez, podemos estudiar la evolución de una trayectoria que rebota en el borde según la ley de reflexión de Descartes (mismo ángulo de incidencia y de salida con la tangente en el punto de impacto. Suponemos que hay tangente en todo punto). El movimiento puede ser más o menos complicado. Ejercicio: Aunque no haya tangente en todo punto, ¿Qué pasa en un cuadrado? ¿Y en un polígono regular que enladrilla el plano?
En una elipse tenemos la propiedad sorprendente siguiente: Los puntos de impacto de toda trayectoria se ordenan circularmente en la elipse igual que la órbita de un punto de un círculo por una rotación (el ángulo de rotación depende de la trayectoria y se llama el número de rotación). Ejercicio (no es tan fácil): Demostrar esta propiedad. Todos los billares que tengan esta propiedad se llaman integrables (pero la noción de sistema hamiltoniano integrable es otra que se generaliza a la Mecánica Celeste. Newton demostró que el problema de dos cuerpos era integrable, y Poincaré que él de tres cuerpos no lo era para casi todas las elecciones de masas. El problema para cualquier distribución de masas sigue abierto).
Conjetura de Birkhoff: Los únicos billares integrables son los elípticos.
Esta conjetura continua sin demostración hoy en día. Por cierto, que para el óvalo en forma de estadio se sabe que no es integrable.
Siguen dando juego las elipses...
viernes, 10 de agosto de 2007
El papiro Rhind
El mal llamado papiro de Rhind es uno de los pocos papiros (junto con el de Moscú) que nos han llegado de la época egipcia. Como otros ya han observado sería más correcto llamarlo papiro de Ahmes (el autor) en vez de nombrarlo por el nombre del egiptólogo que lo compró en el siglo XIX.
La mayor dificultad en la historia de las Matemáticas es entenderla en su contexto, y no a través de los conocimientos que tenemos hoy en día. Para ello, paradójicamente, no sólo hace falta una preparación matemática exhaustiva, también hay que tener una amplia perspectiva del contexto en que se desarrollan las ideas. Desgraciadamente numerosos historiadores pecan de lo primero, y muchos más de lo segundo. Las Matemáticas antiguas son elementales pero las ideas que están detrás son sutiles e inhabituales. Las ideas Matemáticas existen en germen antes de que sean expuestas. Se desarrollan lentamente, cambian, maduran y a menudo sufren una metamorfosis que las transforma de forma irreconocible. En todo este proceso, la representación concreta de las nociones abstractas es una etapa fundamental cómo ya hemos comentado en otra entrada.
De las Matemáticas egipcias tenemos poca información. Sin embargo, disponemos de más abundante información sobre las Matemáticas griegas y las babilónicas. Podemos con ello "interpolar" e indagar mejor sobre las Matemáticas egipcias. Sin duda los griegos heredaron grandes conocimientos geométricos de los egipcios. De allí importó Pitágoras mucha geometría incluyendo "su" teorema.
El sistema numérico de los egipcios no era posicional y por ello era cualitativamente peor que el sistema sexagesimal de los babilonios. Como nos muestra el papiro del escriba Ahmes, los egipcios trabajaban con racionales representándolos como "fracciones egipcias", esto es, como suma de inversos de enteros (distintos si se desea). Con nuestros conocimientos actuales, esto puede parecer engorroso e inapropiado, y hasta alguno pueda cuestionar la capacidad de los egipcios para trabajar con fracciones. En absoluto. Les bastaba trabajar con inversos de enteros, para trabajar con fracciones generales. Es un gran progreso respecto a la representación de los racionales por los babilonios. Por una parte los babilonios únicamente trabajaban con racionales con una expansión sexagesimal finita (ver por ejemplo la famosa tablilla Plimpton 322). Sin embargo los egipcios conseguían por su método barroco representar cualquier racional, incluido el fatídico 1/7 de los babilonios, por un número finito de símbolos. Ejercicio para el lector: Demostrar que todo racional es suma finita de inversos de enteros distintos.
Esta representación por "fracciones egipcias" está adaptada a las operaciones usuales. Sólo podemos maravillarnos por la facilidad de la multiplicación comparada con la multiplicación de los racionales babilónicos (basta multiplicar entre si enteros pequeños). Sumarlos es igualmente trivial. Si se quiere descomponer en inversos de distintos enteros, es suficiente tener una tabla que descomponga los 2/n, la cual encontramos en el papiro de Ahmes para todos los n impares del 5 al 101 (2/3 es una excepción). Ejercicio (fácil) para el lector: Demostrar esta última afirmación. ¿Por qué 2/3 es una excepción?
Desde nuestro punto de vista moderno, esta representación por fracciones egipcias tiene el defecto de no ser única. Pero ello no limita su utilidad práctica. Todo lo contrario: La facilita.
La mayor dificultad en la historia de las Matemáticas es entenderla en su contexto, y no a través de los conocimientos que tenemos hoy en día. Para ello, paradójicamente, no sólo hace falta una preparación matemática exhaustiva, también hay que tener una amplia perspectiva del contexto en que se desarrollan las ideas. Desgraciadamente numerosos historiadores pecan de lo primero, y muchos más de lo segundo. Las Matemáticas antiguas son elementales pero las ideas que están detrás son sutiles e inhabituales. Las ideas Matemáticas existen en germen antes de que sean expuestas. Se desarrollan lentamente, cambian, maduran y a menudo sufren una metamorfosis que las transforma de forma irreconocible. En todo este proceso, la representación concreta de las nociones abstractas es una etapa fundamental cómo ya hemos comentado en otra entrada.
De las Matemáticas egipcias tenemos poca información. Sin embargo, disponemos de más abundante información sobre las Matemáticas griegas y las babilónicas. Podemos con ello "interpolar" e indagar mejor sobre las Matemáticas egipcias. Sin duda los griegos heredaron grandes conocimientos geométricos de los egipcios. De allí importó Pitágoras mucha geometría incluyendo "su" teorema.
El sistema numérico de los egipcios no era posicional y por ello era cualitativamente peor que el sistema sexagesimal de los babilonios. Como nos muestra el papiro del escriba Ahmes, los egipcios trabajaban con racionales representándolos como "fracciones egipcias", esto es, como suma de inversos de enteros (distintos si se desea). Con nuestros conocimientos actuales, esto puede parecer engorroso e inapropiado, y hasta alguno pueda cuestionar la capacidad de los egipcios para trabajar con fracciones. En absoluto. Les bastaba trabajar con inversos de enteros, para trabajar con fracciones generales. Es un gran progreso respecto a la representación de los racionales por los babilonios. Por una parte los babilonios únicamente trabajaban con racionales con una expansión sexagesimal finita (ver por ejemplo la famosa tablilla Plimpton 322). Sin embargo los egipcios conseguían por su método barroco representar cualquier racional, incluido el fatídico 1/7 de los babilonios, por un número finito de símbolos. Ejercicio para el lector: Demostrar que todo racional es suma finita de inversos de enteros distintos.
Esta representación por "fracciones egipcias" está adaptada a las operaciones usuales. Sólo podemos maravillarnos por la facilidad de la multiplicación comparada con la multiplicación de los racionales babilónicos (basta multiplicar entre si enteros pequeños). Sumarlos es igualmente trivial. Si se quiere descomponer en inversos de distintos enteros, es suficiente tener una tabla que descomponga los 2/n, la cual encontramos en el papiro de Ahmes para todos los n impares del 5 al 101 (2/3 es una excepción). Ejercicio (fácil) para el lector: Demostrar esta última afirmación. ¿Por qué 2/3 es una excepción?
Desde nuestro punto de vista moderno, esta representación por fracciones egipcias tiene el defecto de no ser única. Pero ello no limita su utilidad práctica. Todo lo contrario: La facilita.
jueves, 9 de agosto de 2007
Esto no es una palabra
El lenguaje matemático es algo que algunos consideran irrelevante y otros fundamental. Nosotros nos situamos en el segundo grupo. Se sabe bien que un simple vistazo a las notaciones y la estructura verbal utilizadas es revelador del nivel de cualquier texto matemático. Muchas veces el progreso conceptual en Matemáticas se basa en desarrollar buenas notaciones, así como en obtener representaciones concretas de los nuevos objetos abstractos. El Cálculo Infinitesimal, con sus notaciones diferenciales e integrales, es un buen ejemplo. Marca sin duda el despegue del análisis del estado naciente en que lo dejaron los griegos. Otro ejemplo destacable es la representación geométrica de los números complejos por puntos en el plano. Fue un gran salto cualitativo en su comprensión desde su introducción por la escuela italiana en la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Un ejemplo anterior es la geometrizacón de los números positivos mediante longitudes geométricas. Los babilonios, aunque sabían aproximar la raíz cuadrada de 2 (como lo demuestran numerosas tablillas de arcilla que se han recuperado), aborrecian los irracionales así como los racionales sin representación sexagesimal finita. El infinito siempre ha causado vértigo.
Es necesario distinguir claramente entre el lenguaje y la estructura de los razonamientos lógicos. El teorema de Incompletitud de Gödel es una observación, relativamente simple y astuciosa, que todo sistema axiomático que contenga los axiomas de Peano (que sirven para construir los enteros) contiene proposiciones no decidibles. Esto significa que ni ellas ni su negación son demostrables. Y "demostrables" se entiende en término de las reglas de demostración clásicas.
La principal pega de estas reglas de demostración clásicas es su finitud. El número de proposiciones que podemos demostrar a partir de un sistema finito de axiomas y un lenguaje finito es numerable (esto es, son infinitas pero no más infinitas que los enteros. Lo cual es el infinito "más pequeño" que podemos imaginar). Podemos asociar de forma única un entero a cada demostración. Este es el punto de partida de Gödel. Obviamente, para los que creemos en el papel fundamental de la imaginación en Matemáticas, esto es completamente inadecuado. La creación divina no es numerable y la inventiva humana también traspasa los rígidos marcos de la numerabilidad. Desde este punto de vista, el teorema de Gödel es perfectamente natural. Es chocante que un Hilbert cayese en la falacia de los Principia Mathematica.
Personalmente no nos asustan ni recusamos las proposiciones indecidibles. Preferimos considerarlas como Proposiciones mal planteadas respecto a la axiomática, lo cual puede ser debido a una axiomática deficiente.
Las reglas de la lógica tienen sus trampas. Una vez entendido el teorema de Gödel y la existencia de proposiciones indecidibles, deberíamos seguir la propuesta intuicionista excluyendo de nuestras demostraciones todo razonamiento por el absurdo ("reductio ad absurdum"). En ese tipo de demostración (que ya hemos visto anteriormente en la demostración de la irracionalidad de 2) suponemos que la conclusión no se verifica y mediante razonamiento lógico llegamos a una contradicción. Luego lo que queríamos demostrar debe ser cierto, y eso acaba la demostración. El "debe" es una falacia considerando el teorema de Gödel. Podría ocurrir que nuestra proposición fuese indecidible. Luego que no sea falsa no significa que sea cierta en el sentido que pueda derivarse de nuestros axiomas. Los intuicionistas (con el topólogo Bouwer, el del Teorema del punto fijo, a su cabeza) no admitían las demostraciones por el absurdo.
Sin embargo, la mayoría de textos matemáticos se salvan pues en el 99.99% de las ocasiones, las demostraciones por el absurdo pueden reescribirse como demostraciones directas. Es siempre un ejercicio interesante el hacerlo. Pero...¿siempre?
Desgraciadamente no siempre. Todos los estudiantes de Matemáticas han visto la demostración increible que el cardinal de el conjunto de partes de un conjunto es siempre mayor que el cardinal del conjunto (por ejemplo, el conjunto de sucesiones de enteros es no numerable). Recordemos la demostración. Si A es el conjunto y P(A) es el conjunto de partes, supongamos por el absurdo que existe una biyección (esto es, una correspondencia biunívoca) f:A->P(A). A continuación consideremos el subconjunto B de A formado por los elementos x en A tales que x no sea elemento de f(x) (sin duda hay que ser un poco retorcido para definir un tal conjunto). Entonces sea b en A tal que f(b)=B. Por una parte podemos ver que si b no está en f(b) entonces b está en B (por definición de B), pero entonces b no estaría en f(b)=B (por definición de B de nuevo). Absurdo.
¿Alguien sabe demostrar esto sin recurrir al absurdo? El que lo sepa que nos lo cuente.
Es necesario distinguir claramente entre el lenguaje y la estructura de los razonamientos lógicos. El teorema de Incompletitud de Gödel es una observación, relativamente simple y astuciosa, que todo sistema axiomático que contenga los axiomas de Peano (que sirven para construir los enteros) contiene proposiciones no decidibles. Esto significa que ni ellas ni su negación son demostrables. Y "demostrables" se entiende en término de las reglas de demostración clásicas.
La principal pega de estas reglas de demostración clásicas es su finitud. El número de proposiciones que podemos demostrar a partir de un sistema finito de axiomas y un lenguaje finito es numerable (esto es, son infinitas pero no más infinitas que los enteros. Lo cual es el infinito "más pequeño" que podemos imaginar). Podemos asociar de forma única un entero a cada demostración. Este es el punto de partida de Gödel. Obviamente, para los que creemos en el papel fundamental de la imaginación en Matemáticas, esto es completamente inadecuado. La creación divina no es numerable y la inventiva humana también traspasa los rígidos marcos de la numerabilidad. Desde este punto de vista, el teorema de Gödel es perfectamente natural. Es chocante que un Hilbert cayese en la falacia de los Principia Mathematica.
Personalmente no nos asustan ni recusamos las proposiciones indecidibles. Preferimos considerarlas como Proposiciones mal planteadas respecto a la axiomática, lo cual puede ser debido a una axiomática deficiente.
Las reglas de la lógica tienen sus trampas. Una vez entendido el teorema de Gödel y la existencia de proposiciones indecidibles, deberíamos seguir la propuesta intuicionista excluyendo de nuestras demostraciones todo razonamiento por el absurdo ("reductio ad absurdum"). En ese tipo de demostración (que ya hemos visto anteriormente en la demostración de la irracionalidad de 2) suponemos que la conclusión no se verifica y mediante razonamiento lógico llegamos a una contradicción. Luego lo que queríamos demostrar debe ser cierto, y eso acaba la demostración. El "debe" es una falacia considerando el teorema de Gödel. Podría ocurrir que nuestra proposición fuese indecidible. Luego que no sea falsa no significa que sea cierta en el sentido que pueda derivarse de nuestros axiomas. Los intuicionistas (con el topólogo Bouwer, el del Teorema del punto fijo, a su cabeza) no admitían las demostraciones por el absurdo.
Sin embargo, la mayoría de textos matemáticos se salvan pues en el 99.99% de las ocasiones, las demostraciones por el absurdo pueden reescribirse como demostraciones directas. Es siempre un ejercicio interesante el hacerlo. Pero...¿siempre?
Desgraciadamente no siempre. Todos los estudiantes de Matemáticas han visto la demostración increible que el cardinal de el conjunto de partes de un conjunto es siempre mayor que el cardinal del conjunto (por ejemplo, el conjunto de sucesiones de enteros es no numerable). Recordemos la demostración. Si A es el conjunto y P(A) es el conjunto de partes, supongamos por el absurdo que existe una biyección (esto es, una correspondencia biunívoca) f:A->P(A). A continuación consideremos el subconjunto B de A formado por los elementos x en A tales que x no sea elemento de f(x) (sin duda hay que ser un poco retorcido para definir un tal conjunto). Entonces sea b en A tal que f(b)=B. Por una parte podemos ver que si b no está en f(b) entonces b está en B (por definición de B), pero entonces b no estaría en f(b)=B (por definición de B de nuevo). Absurdo.
¿Alguien sabe demostrar esto sin recurrir al absurdo? El que lo sepa que nos lo cuente.
miércoles, 8 de agosto de 2007
La caverna
¿Quién se sorprende que un indio del Amazonas tenga la misma intuición geométrica que un habitante de Manhattan? Nos sorprendería lo contrario. Podemos entender que haya diferencias culturales en lo que toque al aprendizaje. Pero no en otro ámbito.
La intuición geométrica está más o menos desarrollada según los individuos, y , claro, también según los matemáticos. Hay dos tipos de mentes matemáticas con intuiciones ortogonales por decirlo de alguna manera. Los llamaremos los geométricos y los analíticos. Los analíticos son tecnicamente más precisos y potentes, y mucho más calculatorios. Resuelven problemas puntuales. Acostumbran a acostarse pronto y madrugar para trabajar. Los casos extremos padecen síndrome de Asperger. Los geométricos son más profundos, con una intuición más geométrica y menos calculatoria. Muchas veces inventan técnicas nuevas y revolucionan las teorías. Acostumbran a trasnochar y trabajar hasta tarde.
Los analíticos siempre han sido más numerosos. En la actualidad la escuela Bourbakista los ha fabricado sin pausa.
Se reconocen los geométricos por escribir artículos con pocas fórmulas y numerosos razonamientos generales. Son ellos quienes avanzan las fronteras del conocimiento matemático. Geométricos fueron Riemann y Galois. Analíticos fueron Gauss, Cauchy, Weierstrass y los sucesores de su escuela.
Existen algunos dificiles de clasificar. Geométricos en esencia abducidos por las fórmulas. Como Euler, Abel y Jacobi. Otro de ellos, tal vez con Euler el más grande de todos, era Ramanujan. Fue malogrado por el analítico Hardy. La moral de esta historia es que no debemos extraer a los indios, ni a los Matemáticos, de su habitat natural. Y menos cuando son indios matemáticos.
Ejercicios:
La demostración en la "Rectangulación del círculo" es de un Geométrico. ¿Cual sería la de un analítico?
¿John Nash es analítico o geométrico?
La intuición geométrica está más o menos desarrollada según los individuos, y , claro, también según los matemáticos. Hay dos tipos de mentes matemáticas con intuiciones ortogonales por decirlo de alguna manera. Los llamaremos los geométricos y los analíticos. Los analíticos son tecnicamente más precisos y potentes, y mucho más calculatorios. Resuelven problemas puntuales. Acostumbran a acostarse pronto y madrugar para trabajar. Los casos extremos padecen síndrome de Asperger. Los geométricos son más profundos, con una intuición más geométrica y menos calculatoria. Muchas veces inventan técnicas nuevas y revolucionan las teorías. Acostumbran a trasnochar y trabajar hasta tarde.
Los analíticos siempre han sido más numerosos. En la actualidad la escuela Bourbakista los ha fabricado sin pausa.
Se reconocen los geométricos por escribir artículos con pocas fórmulas y numerosos razonamientos generales. Son ellos quienes avanzan las fronteras del conocimiento matemático. Geométricos fueron Riemann y Galois. Analíticos fueron Gauss, Cauchy, Weierstrass y los sucesores de su escuela.
Existen algunos dificiles de clasificar. Geométricos en esencia abducidos por las fórmulas. Como Euler, Abel y Jacobi. Otro de ellos, tal vez con Euler el más grande de todos, era Ramanujan. Fue malogrado por el analítico Hardy. La moral de esta historia es que no debemos extraer a los indios, ni a los Matemáticos, de su habitat natural. Y menos cuando son indios matemáticos.
Ejercicios:
La demostración en la "Rectangulación del círculo" es de un Geométrico. ¿Cual sería la de un analítico?
¿John Nash es analítico o geométrico?
martes, 7 de agosto de 2007
Lo que vio Mrs. Penrose
Vemos con satisfacción que esto va mejorando. Sin ninguna duda el asesoramiento ha surtido efecto (o tal vez la coacción desde los bloggers abelianos...). Hoy nos deleitamos con el bello tema geométrico de los "tilings" cuasi-periódicos. Sin embargo aún no veo la fórmula divina que mueve al Mundo. Seguramente Sampedro se esté dando cuenta que lo tiene crudo para poner fórmulas en HTML. Que no espere ayuda desde aquí. También le pido que deje de ponerse un sobresaliente cada vez que se pasa por aquí. Que se empieza a notar...
Este Penrose además de "Sir" es un impresentable. Uno no patenta un mosaico (no encontramos la palabra "teselación" en el diccionario de la R.A.E., así que la traducción más apropiada de "tiling" en inglés o "pavage" en francés nos parece que debe ser "mosaico" que si existe. Se admiten mejores sugerencias). El patentarlo le expone a que acabe como decorado de papel higiénico como así ocurrió. Para que luego digan que las Matemáticas puras no tienen aplicaciones. Me voy a dedicar en septiembre en meter en Emule unos cuantos mosaicos de Penrose para que la gente los estampe en su papel higiénico. Espero que antes de ello la SGAE no me cierre el blog.
Ahora más en serio, nos parece una barbaridad que se admitan patentes de este tipo. ¿Qué ocurriría si Kepler hubiese patentado el empilamiento hexagonal? Sin duda se llevaría una tajada del precio de la miel y muchas otras cosas. Hablando de empilamientos óptimos hexagonales, esta es una idea todavía no explorada por nuestras Menestras de Vivienda, alias abejas Reinas. Esto de los pisos de 30 metros cuadrados para jóvenes no tiene ni pies ni cabeza. Seguro que se encontrarían más a gusto, cual larvas, en habitáculos hexagonales mucho más económicos. Para que luego digan que no pensamos en los jóvenes (¡a ver si os rebeláis joder y acudís a las convocatorias por una vivienda digna! Cómo diría Che Guevara: ¡Más vale que te den en la calle que vivir en un zulo!).
Volviendo al tema Matemático, pues me estoy dejando llevar por el estilo Sampedriano, creo que sería bueno hablar antes de los mosaicos periódicos y las estructuras cristalinas periódicas. Aunque sea algo menos "fashion" y suene a "démodé" es un tema precioso y con buenos ejercicios para el aprendiz matemático. Estás dos nociones son equivalentes en el caso periódico pues se pasa de una a otra mediante la construcción de las células de Voronoi (para cada punto de la red periódica se toman los puntos más próximos y esto forma un mosaico del espacio). Los mosaicos periódicos del plano y el espacio están totalmente clasificados. Ejercicio para el lector: Encontrarlos todos los del plano (con demostración). Sobre mosaicos periódicos, sólidos platónicos y otras bellezas clásicas les remito a los libros de Coxeter. Los mosaicos periódicos del disco de Poincaré (o disco hiperbólico) son mucho más numerosos (la periódicidad es por isometrías claro está). Para ellos refiero al lector que lea alemán a Fricke y Klein (por favor, no confundir con Bonnie and Clyde), y al que no sepa leer (decidselo) que admire a Escher.
Este Penrose además de "Sir" es un impresentable. Uno no patenta un mosaico (no encontramos la palabra "teselación" en el diccionario de la R.A.E., así que la traducción más apropiada de "tiling" en inglés o "pavage" en francés nos parece que debe ser "mosaico" que si existe. Se admiten mejores sugerencias). El patentarlo le expone a que acabe como decorado de papel higiénico como así ocurrió. Para que luego digan que las Matemáticas puras no tienen aplicaciones. Me voy a dedicar en septiembre en meter en Emule unos cuantos mosaicos de Penrose para que la gente los estampe en su papel higiénico. Espero que antes de ello la SGAE no me cierre el blog.
Ahora más en serio, nos parece una barbaridad que se admitan patentes de este tipo. ¿Qué ocurriría si Kepler hubiese patentado el empilamiento hexagonal? Sin duda se llevaría una tajada del precio de la miel y muchas otras cosas. Hablando de empilamientos óptimos hexagonales, esta es una idea todavía no explorada por nuestras Menestras de Vivienda, alias abejas Reinas. Esto de los pisos de 30 metros cuadrados para jóvenes no tiene ni pies ni cabeza. Seguro que se encontrarían más a gusto, cual larvas, en habitáculos hexagonales mucho más económicos. Para que luego digan que no pensamos en los jóvenes (¡a ver si os rebeláis joder y acudís a las convocatorias por una vivienda digna! Cómo diría Che Guevara: ¡Más vale que te den en la calle que vivir en un zulo!).
Volviendo al tema Matemático, pues me estoy dejando llevar por el estilo Sampedriano, creo que sería bueno hablar antes de los mosaicos periódicos y las estructuras cristalinas periódicas. Aunque sea algo menos "fashion" y suene a "démodé" es un tema precioso y con buenos ejercicios para el aprendiz matemático. Estás dos nociones son equivalentes en el caso periódico pues se pasa de una a otra mediante la construcción de las células de Voronoi (para cada punto de la red periódica se toman los puntos más próximos y esto forma un mosaico del espacio). Los mosaicos periódicos del plano y el espacio están totalmente clasificados. Ejercicio para el lector: Encontrarlos todos los del plano (con demostración). Sobre mosaicos periódicos, sólidos platónicos y otras bellezas clásicas les remito a los libros de Coxeter. Los mosaicos periódicos del disco de Poincaré (o disco hiperbólico) son mucho más numerosos (la periódicidad es por isometrías claro está). Para ellos refiero al lector que lea alemán a Fricke y Klein (por favor, no confundir con Bonnie and Clyde), y al que no sepa leer (decidselo) que admire a Escher.
Mosaico de Sampedrianos (en black) y Galoisiano-Abelianos (en white)
Pero tampoco todo está resuelto para los mosaicos periódicos. Por ejemplo, el famoso problema de Kepler de empilamiento óptimo sólo ha sido resuelto recientemente. Bueno...resuelto...depende de cómo se mire. Hubo varios intentos con "demostraciones" que sólo entendía (presuntamente) su autor (que no nombraré...), según la historia que me conto uno de sus "referrees" (que tampoco puedo nombrar...). En la última solución, que se considera definitiva, hay una parte que podemos leer y entender...y otra parte que entiende sólo el ordenador... Personalemente no tengo inconveniente en considerarlo una demostración (siempre y cuando se me permita preguntar al computer, lo cual hasta ahora no es cierto)...sin embargo también afirmaré sin pelos en la lengua que no es la buena (pues cómo todos sabemos Dios no usa ordenador). Sobre problemas difíciles resueltos recientemente, con gran bombo mediático y pocos matemáticos que entiendan las presuntas soluciones, hay mucho que decir. Volveremos sobre ello en el futuro.
Sobre los cuasi-cristales y mosaicos de Penrose, sólo diremos que por mucho que le pese a Penrose, no es lo mismo. Creo que Penrose ambicionaba patentar los nuevos materiales cuasi-periódicos y no sólo el estampado del papel higiénico. Los cristales cuasiperiódicos se construyen matemáticamente proyectando ortogonalmente una red periódica en un R^n en un plano (o subespacio) con inclinaciones irracionales y racionalmente independientes. Estas distribuciones explican las imágenes de difracción observadas, pero no son mosaicos de Penrose pues las celdas de Voronoi no son todas iguales. Pasando de lo periódico a lo cuasi-periódico se pierde la dualidad entre mosaicos y cristales. Para saber más no puedo recomendar mejor referencia que el seminario 838 de nuestro maestro N. Bourbaki
Seminario Bourbaki 838
Para finalizar se me acaba de ocurrir otra traducción de "tiling". ¿Qué les parece "enladrillamiento"?
Repitan conmigo: La casa de Penrose está enladrillada periódicamente. El enladrillador que desenladrille la casa de Penrose y la enladrille de forma cuasi-periódica pagará royalties a Pentaplex o se las verá con los piratas de la SGAE.
Papel higiénico Penrosiano
lunes, 6 de agosto de 2007
El arenque rojo
Hoy Sampedro nos habla del popular "red herring" anglosajón. Creo que esto es toda una confesión que en los últimos días nos ha estado tomando algo el pelo. ¡Y encima recochineo! Le damos un voto de confianza para que a partir de ahora esto mejore. Con la presión que ejercemos desde este blog, esto está asegurado. Ya le hemos visto pedir ayuda sobre un problema de "tillings". Desde aquí se la ofrecemos de forma gratuita, desinteresada y anónima.
Continuando con el tema de ayer, sobre la cuadratura del círculo y definiciones de π , vamos a intentar entender lo que inducía a pensar a nuestros ancestros (y a algunos contemporaneos...) que se podía cuadrar el círculo. Varios "red herrings" aparecen en este tema.
Por un lado los griegos sabían de la existencia de números irracionales. Se puede decir que uno de los grandes avances de la Matemática griega respecto a sus antecesores, egipcios y babilonios, fue el de "geometrizar la aritmética". Como lo describe perfectamente Euclides en sus elementos, los números (positivos todos en esa época) corresponden a longitudes de segmentos. La suma se obtiene por yuxtaposición y el producto de forma algo más complicada, pero mediante una construcción mediante regla y compás (Ejercicio para el lector). Los griegos conocían, mediante el mal llamado Teorema de Pitágoras (bien conocido de los babilonios), que la longitud de la diagonal de un cuadrado unidad era la raíz cuadrada de 2, y habían descubierto con pavor que no era racional (Supongo que todos ustedes saben como demostrarlo, pero no tengo inconveniente en recordar la bella demostración...empiecen suponiendo por el absurdo que es racional de la forma a/b con a o b impar...y vean que pasa utilizando que si un cuadrado es par entonces sólo puede ser el cuadrado de un número par). Este es seguramente un primer "red herring". No parece que haya inconveniente en construir mediante regla y compás el irracional √2. ¿Por qué no sería posible con π ?
La definición de π adoptada por las civilizaciones antiguas supone que existe la longitud de un círculo, lo cual lo establecen por primera vez los griegos y, por supuesto, sin recurso al cálculo integral. Sólo mediante un proceso de paso al límite. Este es el método de exhaustión inventado por Eudoxus de Cnidus, quien seguramente fue el primer matemático capaz de entender a fondo la noción de número irracional hasta su formalización en el siglo XIX por Dedekind. El método de exhaustión consiste en aproximar el círculo mediante curvas poligonales. Por ejemplo, el hexágono regular máximo inscrito en el círculo muestra que π es mayor que 3 y el cuadrado circunscrito que π es inferior a 4 (Ejercicio: Demostrar rigurosamente esto último (lo primero es más fácil)).
Pero el valor preciso de π ha hecho correr ríos de tinta, y el método de exhaustión descrito es un precursor del cálculo infinitesimal, pero tiene grandes limitaciones de tipo práctico para evaluar correctamente π .
Otro "red herring" en este problema fue el descubrimiento por Hippocrates de Chios de la cuadratura de ciertas lunas. El área de las regiones azules es igual al de la región naranja, luego la luna mayor (Ejercicio para el lector), formada por los dos arcos de círculo, tiene la misma area que el triángulo del dibujo. Si tomamos como radio del círculo mayor la unidad, entonces la luna tiene area que podemos cuadrar, contrariamente al semi-disco.
Hay muchas otras lunas cuadrables. Leonardo Da Vinci pasó muchos años estudiándolas.
¿Podrá el lector encontrar alguna más?
PS: Por cierto, un update sobre Zeltia. Como pueden ver, nuestro analisis es mejor:
Noticia "El Confidencial"
Continuando con el tema de ayer, sobre la cuadratura del círculo y definiciones de π , vamos a intentar entender lo que inducía a pensar a nuestros ancestros (y a algunos contemporaneos...) que se podía cuadrar el círculo. Varios "red herrings" aparecen en este tema.
Por un lado los griegos sabían de la existencia de números irracionales. Se puede decir que uno de los grandes avances de la Matemática griega respecto a sus antecesores, egipcios y babilonios, fue el de "geometrizar la aritmética". Como lo describe perfectamente Euclides en sus elementos, los números (positivos todos en esa época) corresponden a longitudes de segmentos. La suma se obtiene por yuxtaposición y el producto de forma algo más complicada, pero mediante una construcción mediante regla y compás (Ejercicio para el lector). Los griegos conocían, mediante el mal llamado Teorema de Pitágoras (bien conocido de los babilonios), que la longitud de la diagonal de un cuadrado unidad era la raíz cuadrada de 2, y habían descubierto con pavor que no era racional (Supongo que todos ustedes saben como demostrarlo, pero no tengo inconveniente en recordar la bella demostración...empiecen suponiendo por el absurdo que es racional de la forma a/b con a o b impar...y vean que pasa utilizando que si un cuadrado es par entonces sólo puede ser el cuadrado de un número par). Este es seguramente un primer "red herring". No parece que haya inconveniente en construir mediante regla y compás el irracional √2. ¿Por qué no sería posible con π ?
La definición de π adoptada por las civilizaciones antiguas supone que existe la longitud de un círculo, lo cual lo establecen por primera vez los griegos y, por supuesto, sin recurso al cálculo integral. Sólo mediante un proceso de paso al límite. Este es el método de exhaustión inventado por Eudoxus de Cnidus, quien seguramente fue el primer matemático capaz de entender a fondo la noción de número irracional hasta su formalización en el siglo XIX por Dedekind. El método de exhaustión consiste en aproximar el círculo mediante curvas poligonales. Por ejemplo, el hexágono regular máximo inscrito en el círculo muestra que π es mayor que 3 y el cuadrado circunscrito que π es inferior a 4 (Ejercicio: Demostrar rigurosamente esto último (lo primero es más fácil)).
Pero el valor preciso de π ha hecho correr ríos de tinta, y el método de exhaustión descrito es un precursor del cálculo infinitesimal, pero tiene grandes limitaciones de tipo práctico para evaluar correctamente π .
Otro "red herring" en este problema fue el descubrimiento por Hippocrates de Chios de la cuadratura de ciertas lunas. El área de las regiones azules es igual al de la región naranja, luego la luna mayor (Ejercicio para el lector), formada por los dos arcos de círculo, tiene la misma area que el triángulo del dibujo. Si tomamos como radio del círculo mayor la unidad, entonces la luna tiene area que podemos cuadrar, contrariamente al semi-disco.
Hay muchas otras lunas cuadrables. Leonardo Da Vinci pasó muchos años estudiándolas.
¿Podrá el lector encontrar alguna más?
PS: Por cierto, un update sobre Zeltia. Como pueden ver, nuestro analisis es mejor:
Noticia "El Confidencial"
domingo, 5 de agosto de 2007
Rectangulando el círculo
El número π ha causado fascinación en todas los tiempos y culturas. Se han desarrollado multitud de métodos para calcularlo. El sueño secreto de todo geometra desde la antiguedad ha sido encontrar la Fórmula Divina que nos diese exactamente el número π.
La mejor manera de obtener una tal fórmula sería cuadrar el círculo, esto es, mediante una construcción geométrica y siguiendo las reglas de geometría clásica (con regla y compás) construir un cuadrado con la misma area. Nos bastaría "rectangular" el círculo y obtener un rectangulo con esta propriedad, pues es relativamente fácil cuadrar un retángulo con regla y compás (Ejercicio para el lector).
Desgraciadamente este problema que trajo de cabeza durante más de 2000 años a todos los geometras no tiene solución como demostró el matemático alemán Lindemann a finales del siglo XIX. Pero no vamos a hablar de esto hoy. Primero queremos entender precisamente como definir π.
Desde pequeños nos enseñan, y nos creemos sin rechistar, que la longitud de una círculo de radio R es proporcional a R. Nadie nos lo justifica, por una razón muy simple: No es elemental como definir la longitud de una curva. Aquí tenemos un ejemplo de como se genera una curva fractal de longitud infinita, la curva de Von Koch.
Sin embargo, por suerte, esto no sucede con el círculo. Aproximándolo mediante curvas poligonales con vértices en el círculo, la longitud de la linea poligonal se aproxima a un número que es, por definición, la longitud del círculo. Entonces es fácil demostrar que el perímetro del círculo es proporcional al diámetro D=2R. Si dilatamos cualquier linea poligonal con una proporción fija, su longitud total se multiplica por la misma cantidad. Esto permite demostrar pues que el pereimetro P del círculo es proporcional al radio o al diametro.
Definimos entonces π como la razón entre el perímetro y el diámetro:
π=P/D=P/2R .
Pero hay otra definición de π utilizando el área interior al círculo. Esta es proporcional al radio al cuadrado R^2. Esta definición tampoco es elemental pues hay que definir el área de una region delimitada por un borde curvilineo. La noción de área es también muy delicada (¡ existen curvas de area positiva! Algún día hablaremos de ello). Se hace de nuevo por aproximación por regiones poligonales y observando que tras una dilatación las areas se multiplican por el cuadrado de la razón de dilatación. Entonces podemos definir π también como el cociente del area A del disco de radio 1 por el radio al cuadrado R^2:
π=A/R^2 .
Todos conocemos esto. Pero ¿Por qué aparece la misma constante π en ambas definiciones? Esto lo saben explicar pocos, y aún menos sin recurrir al cálculo integral.
Una forma de hacerlo es "rectangulando" el círculo. Lo cortamos en sectores como una pizza, y recomponemos los trozos. Cada vez hacemos la construcción cortándolo en más sectores, como indican las figuras siguientes:
Conforme aumentamos el número de sectores, el círculo recompuesto se aproxima cada vez más a un rectángulo de altura R (el radio del círculo) y de longitud P/2 donde P es el perímetro.
Por otra parte, el area de la figura recompuesta es la misma que la del disco inicial, luego tenemos
A=R.P/2 .
y por lo tanto
A/R^2=π=P/2R
y así pues las dos definiciones de π coinciden. ¡ Voilà !
Esta construcción se puede encontrar en un texto japonés del siglo XVII (Sato Moshun "Tengen Shinan" 1698).
Ejercicios:
(1) Cuadrar cualquier rectángulo mediante regla y compás.
(2) Demostrar que la curva de Von Koch tiene longitud infinita. ¿Tiene tangente en algún punto?
(3) Demostrar que el borde de toda región convexa tiene longitud finita. (Una región convexa es una región del plano tal que el segmento que une cualquier par de puntos de la región está contenido en la región. Observad que un disco es convexo. Y añado...para satisfacer a wookie...que suponemos la región acotada...sinó el resultado sólo es localmente cierto)
Bodel se traga la prueba
Parafraseando a uno de los comentarios al blog de Sampedro "Que birria. Oye tu, que birria". Está claro que ayer sobrevaloramos a Sampedro.
Al final parece que todo el enigma consiste en que la disposición en el vagón es el código que indica las acciones del día. Ya lo indicamos que podía ser así. Pero no sabemos en qué ayuda eso a Bodel. Sin embargo el cálculo de correlaciones que proponíamos les enviaba al trullo. ¡Qué pena Sampedro!
Sampedro debería informarse de cómo funciona la bolsa. Dudo mucho que acciones cómo las que describe, con una estrategia fija, puedan generar ningún tipo de beneficio. La forma de ganar coordinadamente es mediante el "pump and dump". Ya lo podíamos haber intuido cuando nos decía que "media hora después empiezan las órdenes de venta"(sic).
Como esto de hoy es anticientífico, y a mi y a los que leen Fórmula Divina lo que nos va es la ciencia, os posteo más tarde una entrada sobre la "Rectangulación del círculo".
¡Qué cruz! Al final acabo haciéndole el trabajo a este hombre.
Al final parece que todo el enigma consiste en que la disposición en el vagón es el código que indica las acciones del día. Ya lo indicamos que podía ser así. Pero no sabemos en qué ayuda eso a Bodel. Sin embargo el cálculo de correlaciones que proponíamos les enviaba al trullo. ¡Qué pena Sampedro!
Sampedro debería informarse de cómo funciona la bolsa. Dudo mucho que acciones cómo las que describe, con una estrategia fija, puedan generar ningún tipo de beneficio. La forma de ganar coordinadamente es mediante el "pump and dump". Ya lo podíamos haber intuido cuando nos decía que "media hora después empiezan las órdenes de venta"(sic).
Como esto de hoy es anticientífico, y a mi y a los que leen Fórmula Divina lo que nos va es la ciencia, os posteo más tarde una entrada sobre la "Rectangulación del círculo".
¡Qué cruz! Al final acabo haciéndole el trabajo a este hombre.
sábado, 4 de agosto de 2007
El problema de Bodel
Interesante tema de hoy de las estafas bursátiles. Mecanismos menos sofisticados que el que nos narra Sampedro se utilizan en España y la CNMV ni los huele (o no los quiere oler. La SEC americana anda algo más despierta). Como ejemplo reciente observemos el gráfico a dos meses de la empresa farmacéutica Zeltia:
Como podemos ver, algo pasó el día 20 de Julio. En efecto, la agencia europea del medicamento aprueba el fármaco anticancerígeno Yondeli de Zeltia:
"Visto bueno de la Agencia Europea del Medicamento para comercializar Yondeli"
Sin embargo, parece evidente en el gráfico que algunos ya lo sabían el 6 de Julio. Esto se llama manejar información privilegiada y es ilegal. Debería ser fácil ir tras la pista del dinero e inculpar a los responsables. Desgraciadamente tales ejemplos abundan en la bolsa española, por lo tanto lo más recomendable es mantenerse al margen.
Mucho más sutiles son los pelotazos coordinados como los de la banda del "caso metro" que nos describe Javier. El mecanismo es el siguiente (los americanos lo llaman "pump and dump"): Se escoje un valor de bolsa con pequeño volumen. De forma coordinada se compra por un grupo de inversores para hacer subir el valor ("pump"). A continuación, cuando otros inversores fuera del grupo han sido atraidos por el despegue del valor, se les vende a precio superior ("dump"). Algún lector no familiar con las reglas de los mercados bursátiles podría pensar que esto es legal. No lo es, y además es una estafa. El "pump" y "dump" también se da en el pelotazo de Zeltia. El 6 de Julio hubo "pump" y el 20 de Julio hubo "dump".
El mecanismo puede ser muy sútil. Es fácil mostrar confabulación si se intercepta la comunicación directa. Sin embargo puede existir comunicación de forma totalmente opaca para un observador exterior, con unas reglas pre-establecidas. Por ejemplo, en el "caso metro", cuando están todos en el vagón, la situación relativa de unos y otros puede indicar que valor será el objeto del ataque del día.
El mejor consejo que se le puede dar al inspector Bodel es comprarse un libro de estadística y empezar estudiando el capítulo sobre correlaciones y el de tests de confianza. En segundo lugar requerir los historiales de ganancias diarias de los 50 sospechos, calcular sus correlaciones respecto a la ganancia media del grupo, y sus correlaciones respecto a las ganancias del mercado (que serían mucho más pequeñas y próximas de cero). A continuación, para aquellos para los cuales estas correlaciones superen ciertos umbrales (todos los que actuen de forma coordinada), y aplicando un test estandar de fiabilidad estadística, se podría demostrar con una probabilidad altísima que existe coordinación. Esto es sin duda indicio de "culpabilidad sin duda razonable", lo cual es suficiente para ser condenados según la justicia americana.
Algo similar fue propuesto por Edward Thorp para permitir el control fiscal de los casinos de Las Vegas por parte del IRS (Hacienda americana). Para los que no le conozcan, Edward Thorp descubrió siendo estudiante como se podía ganar al Blackjack (también llamado 21, y parecido al siete y medio español). Bastaba contar cartas (con una versión muy primitiva que no requiere gran memoria), y apostar fuerte en situaciones ventajosas. Sus hallazgos fueron publicados en su "best seller" "Beat the dealer" y causó pánico en la industria de los casinos. Pero el éxito de Thorp, más que el de encontrar el mecanismo que da ventaja, fue el de entender perfectamente y divulgar el criterio de Kelly para la gestión del capital. Hablaremos de ello más adelante en otro capítulo. A continuación Thorp se dedicó a las finanzas (después de publicar otro libro "Beat the market") y amasó una gran fortuna. Recientemente hizo una donación importante al departamento de Matemáticas de la Universidad de California Irvine donde es profesor emérito.
Volviendo al tema, lo que propuso Thorp fue lo siguiente. Es imposible para el IRS controlar el flujo de dinero en los casinos (¿Cómo hacerlo?), y los casinos durante muchos años han estafado en sus declaraciones de ganancias. Thorp propuso que un batallón de agentes del IRS fuese a los casinos a gastarse un cierto dinero, a diferentes horas y en diferentes fechas. Anteriormente habrían tomado nota cuidadosamente de los números de serie de los billetes. Cuando el casino hiciese un depósito en el banco en efectivo, entonces podrían intervenir el depósito y contar cuantos billetes marcados aparecen. Haciendo esto durante un cierto tiempo, una estadística elemental sobre la proporción entre billetes marcados y no marcados, revelaría el verdadero volumen de la recaudación de los casinos. Al final el IRS no siguió los consejos de Thorp...tal vez por las mismas razones que la CNMV española...Esto desilusionó mucho a Thorp como confiesa en uno de sus libros.
Cuidado que Hacienda también utiliza trucos parecidos...En Francia por ejemplo se hincharon a comparar el número de servilletas que se lavan en los restaurantes con el negocio declarado...
Problema del día: Estimar cuantos días serían necesarios del histórico de ganancias para establecer la culpabilidad de los 50 sospechosos del "caso metro" con un 99% de fiabilidad. Dar también el "threshold" del índice de correlación en el método propuesto.
Me he olvidado de las penitencias del día:
(1) Galoisiano-Abeliano (este soy yo) copia mil veces:
Perdona Javierito ayer me pasé sin razón.
(2) Javier Sampedro copia 10 000 veces:
No especularé en bolsa con los trucos de Fórmula Divina.
(3) Como penitencia mayor, Javier Sampedro promete que el blog del año próximo se titulará "Formulas que mueven la Bolsa". Exito asegurado.
PS: Por cierto, lo de Zeltia es primicia. Que yo sepa nadie lo ha publicado hasta hoy.
viernes, 3 de agosto de 2007
Cosas que caen al suelo
¡Qué horror!
El señor Sampedro va de mal en peor. Empiezo a pensar que es un peligro público.
Hoy nos explica confusa y erróneamente el Principio de Relatividad General de Einstein. Lo confunde con el Principio de Inercia de Galileo (el cual se enseñaba en mi época en la escuela elemental...pero esto ha debido cambiar):
"Tú puedes ir jugando al ping-pong en un barco (supongo), o tirando una pelota al aire en el AVE. Aunque el tren se esté moviendo, la pelota no "se queda atrás" cuando abandona tu mano. Si llevas bien atornillado el iPod con los 50 cent, no tienes forma de saber si el tren está en la estación o a medio camino entre Ciudad Real y Córdoba. Hasta ahí habían llegado entre Galileo y Einstein en 1905.
Pero fíjate en que no he dicho "saliendo de Ciudad Real", ni "llegando a Córdoba", porque ahí sí que no hay iPod de 50 dólares que te pueda ocultar el hecho "evidente" de que el AVE está acelerando (o frenando, que es acelerar con signo menos). Ésta era la Luna de Einstein en 1906, y su manzana fue un ascensor.
Lo que tienen de particular los movimientos acelerados -lo que los diferencia de todas las demás situaciones: estar parado o moviéndose a velocidad constante- es que "se notan"."
Pues no señor Sampedro. Lo que dice el Principio de Relatividad General de Einstein es precisamente que "no se nota". Dice que uno no puede distinguir entre la aceleración y la fuerza de gravedad.
El buen ejemplo sería decir que el viajero del tren, con las ventanas cerradas, no sabría distinguir entre una aceleración o deceleración del tren y que este se inclinase hacia atrás o hacia delante respectivamente. Sin embargo, el ejemplo preferido de Einstein era el del ascensor con viajero (observador) aislado del exterior. El Principio de Relatividad General de Einstein es aún más general: Las leyes de la física deben ser equivalentes en cualquier referencial. No hay que confundirlo con el Principio de Relatividad Especial de Einstein que sólo postula la equivalencia en sistemas galileanos (esto es, no acelerados), lo cual basta para edificar la Teoría de la Relatividad Especial y encontrar las ecuaciones de Lorenz escribiendo la constancia de la velocidad de la luz (o, de forma equivalnte, la invariancia de las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo. Esta fue la motivación original de Einstein).
Por cierto, basta la Relatividad Especial para descubrir una de las fórmulas más famosas que mueve el mundo, y en la que se basa toda la industria nuclear (tanto civil como militar). La equivalencia entre masa y energía:
EL Principio de Relatividad General entronca con las ideas filosóficas de Mach. Habría mucho que escribir al respecto. Qué pena fusilar así un tema tan rico.
Javierito Sampedro, repite conmigo y escribe mil veces:
Por otra parte, el señor Sampedro evoca un tema interesante: El de las revelaciones súbitas. Este es un fenómeno bien conocido y ampliamente comentado. El ejemplo más famoso es el de Newton. El siguiente seguramente sea el relato de Poincaré cómo, súbitamente, se dio cuenta de que las transformaciones fuchsianas eran automorfismos del disco hiperbólico. Esto es algo absolutamente cierto de lo que muchos de los que hacemos ciencia podemos testificar. ¡En mi caso puedo relatar que hice mi tesis doctoral en un segundo! No es por presumir...después de trabajar unos meses duramente en el problema, la solución apareció ante mi en un instante de relajación en el que conscientemente no estaba pensando en el problema.
La explicación de este fenómeno es relativamente simple. En su trabajo el investigador se concentra en ciertos momentos intensamente. Cuando deja de trabajar conscientemente, su mente continua pensando de forma inconsciente en el problema, y a veces surge la solución de forma súbita. Los mecanismos de cómo esto ocurre no están bien entendidos. Otro hecho común y similar es que a menudo para resolver un problema es beneficioso dejarlo un tiempo. Cuando uno vuelve al ataque lo hace con ideas nuevas y a veces consigue superar los obstaculos que le atascaban anteriormente. Parece también que el cerebro ha estado trabajando en "background".
Otro tema que Sampedro evoca es la relación de la relatividad general con las Matemáticas de Riemann. Aunque sospecho que Sampedro no sabe demasiado de geometría Riemanniana, intuyo que lo repite de alguna fuente. En efecto es gracias al formalismo Riemanniano (desarrollado posteriormente por otros como el italiano Levi-Civita) en que se basa la Relatividad General. Sin embargo, lo que no muchos saben, es que al final de su Habilitationsschrift sobre los fundamentos de la geometría, nos anuncia de forma profética que es probable que la métrica de nuestro espacio dependa de la distribución de masas (lo cual es el principio de base de la Relatividad General de Einstein)...y además que la estructura micróscopica del espacio podría ser mucho más complicada de lo que pensamos...como piensan hoy en día todos los que trabajan en Teoría de Cuerdas.
Algún día prometo hablar de Bernhard Riemann...el mayor genio matemático de todos los tiempos.
Se me olvidaba la pregunta del día: Sabiendo que la energía es una función de la masa, dar un argumento físico que demuestre que la relación sólo puede ser lineal (esto es, Energía=(constante universal) x Masa).
El señor Sampedro va de mal en peor. Empiezo a pensar que es un peligro público.
Hoy nos explica confusa y erróneamente el Principio de Relatividad General de Einstein. Lo confunde con el Principio de Inercia de Galileo (el cual se enseñaba en mi época en la escuela elemental...pero esto ha debido cambiar):
"Tú puedes ir jugando al ping-pong en un barco (supongo), o tirando una pelota al aire en el AVE. Aunque el tren se esté moviendo, la pelota no "se queda atrás" cuando abandona tu mano. Si llevas bien atornillado el iPod con los 50 cent, no tienes forma de saber si el tren está en la estación o a medio camino entre Ciudad Real y Córdoba. Hasta ahí habían llegado entre Galileo y Einstein en 1905.
Pero fíjate en que no he dicho "saliendo de Ciudad Real", ni "llegando a Córdoba", porque ahí sí que no hay iPod de 50 dólares que te pueda ocultar el hecho "evidente" de que el AVE está acelerando (o frenando, que es acelerar con signo menos). Ésta era la Luna de Einstein en 1906, y su manzana fue un ascensor.
Lo que tienen de particular los movimientos acelerados -lo que los diferencia de todas las demás situaciones: estar parado o moviéndose a velocidad constante- es que "se notan"."
Pues no señor Sampedro. Lo que dice el Principio de Relatividad General de Einstein es precisamente que "no se nota". Dice que uno no puede distinguir entre la aceleración y la fuerza de gravedad.
El buen ejemplo sería decir que el viajero del tren, con las ventanas cerradas, no sabría distinguir entre una aceleración o deceleración del tren y que este se inclinase hacia atrás o hacia delante respectivamente. Sin embargo, el ejemplo preferido de Einstein era el del ascensor con viajero (observador) aislado del exterior. El Principio de Relatividad General de Einstein es aún más general: Las leyes de la física deben ser equivalentes en cualquier referencial. No hay que confundirlo con el Principio de Relatividad Especial de Einstein que sólo postula la equivalencia en sistemas galileanos (esto es, no acelerados), lo cual basta para edificar la Teoría de la Relatividad Especial y encontrar las ecuaciones de Lorenz escribiendo la constancia de la velocidad de la luz (o, de forma equivalnte, la invariancia de las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo. Esta fue la motivación original de Einstein).
Por cierto, basta la Relatividad Especial para descubrir una de las fórmulas más famosas que mueve el mundo, y en la que se basa toda la industria nuclear (tanto civil como militar). La equivalencia entre masa y energía:
E=M C^2
EL Principio de Relatividad General entronca con las ideas filosóficas de Mach. Habría mucho que escribir al respecto. Qué pena fusilar así un tema tan rico.
Javierito Sampedro, repite conmigo y escribe mil veces:
"Estudiaré mecánica clásica elemental antes de escribir sobre relatividad general."
Por otra parte, el señor Sampedro evoca un tema interesante: El de las revelaciones súbitas. Este es un fenómeno bien conocido y ampliamente comentado. El ejemplo más famoso es el de Newton. El siguiente seguramente sea el relato de Poincaré cómo, súbitamente, se dio cuenta de que las transformaciones fuchsianas eran automorfismos del disco hiperbólico. Esto es algo absolutamente cierto de lo que muchos de los que hacemos ciencia podemos testificar. ¡En mi caso puedo relatar que hice mi tesis doctoral en un segundo! No es por presumir...después de trabajar unos meses duramente en el problema, la solución apareció ante mi en un instante de relajación en el que conscientemente no estaba pensando en el problema.
La explicación de este fenómeno es relativamente simple. En su trabajo el investigador se concentra en ciertos momentos intensamente. Cuando deja de trabajar conscientemente, su mente continua pensando de forma inconsciente en el problema, y a veces surge la solución de forma súbita. Los mecanismos de cómo esto ocurre no están bien entendidos. Otro hecho común y similar es que a menudo para resolver un problema es beneficioso dejarlo un tiempo. Cuando uno vuelve al ataque lo hace con ideas nuevas y a veces consigue superar los obstaculos que le atascaban anteriormente. Parece también que el cerebro ha estado trabajando en "background".
Otro tema que Sampedro evoca es la relación de la relatividad general con las Matemáticas de Riemann. Aunque sospecho que Sampedro no sabe demasiado de geometría Riemanniana, intuyo que lo repite de alguna fuente. En efecto es gracias al formalismo Riemanniano (desarrollado posteriormente por otros como el italiano Levi-Civita) en que se basa la Relatividad General. Sin embargo, lo que no muchos saben, es que al final de su Habilitationsschrift sobre los fundamentos de la geometría, nos anuncia de forma profética que es probable que la métrica de nuestro espacio dependa de la distribución de masas (lo cual es el principio de base de la Relatividad General de Einstein)...y además que la estructura micróscopica del espacio podría ser mucho más complicada de lo que pensamos...como piensan hoy en día todos los que trabajan en Teoría de Cuerdas.
Algún día prometo hablar de Bernhard Riemann...el mayor genio matemático de todos los tiempos.
Se me olvidaba la pregunta del día: Sabiendo que la energía es una función de la masa, dar un argumento físico que demuestre que la relación sólo puede ser lineal (esto es, Energía=(constante universal) x Masa).
jueves, 2 de agosto de 2007
Treinta docenas
Sobre docenas no hay mucho que añadir, salvo que evidentemente es un legado de la base 60 utilizada por los babilonios. Ya hablamos algo de ello en el blog anterior.
Contrariamente a lo que algunos puedan pensar, no todas las bases numerales son equivalentes. En un sistema de notación posicional como el nuestro y el de los babilonios, el trabajar en una base altamente compuesta facilita los cálculos con fracciones racionales.
De forma precisa, un racional a/b se puede escribir con un número finito de cifras si, y sólamente si, los factores primos del denominador son factores primos de la base. Por ejemplo, en base 10, 1/2=0.5, 2/5=0.4, pero sin embargo 1/3=0.3333... (3 no divide 10). En cambio en base 60, tenemos 1/3=0.(20), 1/2=0.(50), 1/8=0.(7)(30).
Problema para el lector: Demuéstrelo.
Desde este punto de vista, el sistema en base 60 es mucho más eficaz que el sistema en base 10 puesto que 60=2x2x3x5 tiene más factores primos que 10=2x5.
El primer inverso de un número entero del cual no tenemos una expresión decimal finita en base 60 es 1/7. El siguiente es 1/11. ¿Comprende ahora el lector porqué tanto el 7, como el 11 y el 77 son números importantes tanto en la Biblia como en el Viejo Testamento?
Por cierto, que no sólo son importantes estos números en la tradición judeo-cristiana. También en la musulmana. Los números 911 y 311 no sólo acaban en 11. También son primos y tienen otras propiedades. Otro día hablaremos de la numerología terrorista AlQuaedeana que puede ser útil para salvar el pellejo. Pero por hoy no les asusto más.
Tenía intención de no cabrearme...pero no voy a poder evitarlo...
"30 docenas hacen 360: la cuadratura del círculo"
Javierito Sampedro repite conmigo y escribe 360 000 veces:
No cuadraré falsamente el círculo.
Contrariamente a lo que algunos puedan pensar, no todas las bases numerales son equivalentes. En un sistema de notación posicional como el nuestro y el de los babilonios, el trabajar en una base altamente compuesta facilita los cálculos con fracciones racionales.
De forma precisa, un racional a/b se puede escribir con un número finito de cifras si, y sólamente si, los factores primos del denominador son factores primos de la base. Por ejemplo, en base 10, 1/2=0.5, 2/5=0.4, pero sin embargo 1/3=0.3333... (3 no divide 10). En cambio en base 60, tenemos 1/3=0.(20), 1/2=0.(50), 1/8=0.(7)(30).
Problema para el lector: Demuéstrelo.
Desde este punto de vista, el sistema en base 60 es mucho más eficaz que el sistema en base 10 puesto que 60=2x2x3x5 tiene más factores primos que 10=2x5.
El primer inverso de un número entero del cual no tenemos una expresión decimal finita en base 60 es 1/7. El siguiente es 1/11. ¿Comprende ahora el lector porqué tanto el 7, como el 11 y el 77 son números importantes tanto en la Biblia como en el Viejo Testamento?
Por cierto, que no sólo son importantes estos números en la tradición judeo-cristiana. También en la musulmana. Los números 911 y 311 no sólo acaban en 11. También son primos y tienen otras propiedades. Otro día hablaremos de la numerología terrorista AlQuaedeana que puede ser útil para salvar el pellejo. Pero por hoy no les asusto más.
Tenía intención de no cabrearme...pero no voy a poder evitarlo...
"30 docenas hacen 360: la cuadratura del círculo"
Javierito Sampedro repite conmigo y escribe 360 000 veces:
No cuadraré falsamente el círculo.
Cuéntate otra
¿Empezamos con trampa?
"Dos preguntas tontas para un 1 de agosto, impar y primo."
¿Es 1 un número primo? (Pregunta similar a: ¿Es el cero un número par?) Evidentemente esto depende de la definición que adoptemos de número primo. Según las definiciones modernas, no se considera 1 primo y sí se considera el cero par.
Según la definición favorita de mi hijo de cinco años, 1 no es primo pues no lo podemos partir en partes iguales. Aconsejo a cualquiera esta definición no multiplicativa de número primo, que además puede entender cualquier niño pequeño:
Definición: Un número entero es primo si no puede descomponerse en partes enteras iguales.
Tal vez Sampedro nos esté tendiendo una trampa: ¿Será 1/8/07 un número primo? Pues va a ser que tampoco:
Tal vez Sampedro piensa en la fecha escrita de forma anglosajona 8/1/07. Sin embargo
Pero...80107 si es primo...aunque esto ya sería rizar el rizo.
Dejemos para más adelante la interesante cuestión de si debemos considerar la unidad como un número primo y continuemos nuestra lectura.
A continuación Sampedro elucubra sobre el origen de nuestro sistema decimal. Los Incas utilizaban un sistema en base 20 y los babilonios en base 60. Además estos últimos inventaron la notación posicional. Es un misterio el origen de las bases. Se han formulado diferentes hipótesis de origen "fisiológico". Sin embargo está claro que la base 60 utilizada por los babilonios está admirablemente bien adaptada a los cálculos numéricos y a los cálculos astronómicos. Aquellos que no sepan porque tenemos doce meses, los ángulos se miden en grados, un ángulo pleno son 360 grados, y el día tiene 24 horas, pueden empezar a entenderlo sabiendo que la base de los babilonios era 60. No podemos aconsejar mejor referencia para estas cuestiones que el libro exhaustivo de Georges Ifrah "Histoire universelle des chiffres".
A continuación Sampedro nos habla de los dos huesos de Ishango (sic):
"Parece ser que las fórmulas se inventaron en África bastante antes que en Mesopotamia. Tomen los dos huesos de Ishango, hallados en 1960 en el entonces Congo Belga (República Democrática del Congo) y conservados en el Instituto Real de Ciencias Naturales, en Bruselas. Tienen unos 10 o 12 centímetros de largo y están totalmente cubiertos de muescas transversales agrupadas en cifras."
Una primera observación es que no hay dos huesos de Ishango, sinó que es uno sólo, como puede leerse en el link de la Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ishango_bone
No nos confundamos. La foto es de la dos caras del mismo hueso.
La antiguedad del yacimiento donde se encontró el hueso se evalua actualmente a 20000 años. Claro que este dato hay que tomarlo con cierta precaución...
A continuación Sampedro nos informa de la teoría fantástica que alguien debió formular después de fumar algo no muy legal: Puesto que en los huesos podemos leer el cuadruplete primo 11, 13, 17,19, ello puede indicar el conocimiento y estudio de los números primos por parte de las civilizaciones antiguas. Esto es muy poco creible teniendo en cuenta que no hay traza de estudio de los números primos en el muy abundante material sumerio muy posterior.
Lo más probable es que las marcas en el hueso sirviesen como método contable como se hacía no hace tanto tiempo en el mundo anglosajón de las finanzas (para ello ver el origen de la palabra "stock"). También se conocen otros ejemplos similares de contabilidad por incisiones en huesos como la tibia de lobo encontrada en Vestonice (Moravia) en 1937 (E. Kolman "Istoriya matematiki v drevnosti", Moscú 1961).
También nos habla Sampedro de los cuadrupletes primos:
"Una serie, por ejemplo, dice 11, 13, 17 y 19. Es un cuadruplete de primos: si p es un número primo, un cuadruplete es (p, p+2, p+6, p+8). El pobre p+4 no puede estar porque siempre es divisible por 3, y por tanto no es primo. Un cuadruplete de primos se compone de dos pares de gemelos: dos primos con sólo un número en medio, como 11 y 13. Y los cuatro miembros del cuadruplete suman 60."
Puntualicemos que el resultado enunciado sólo es cierto si p es distinto de 1 y de 3 (y p=1 no parece excluido debido a la primera frase). Pues (1,3,5) y (3,5,7) son tripletes de primos. En efecto tenemos el Teorema evidente siguiente:
Teorema:
Supongamos p distinto de 1 y de 3. Si p y p+2 son primos entonces p+4 es divisible por 3 y no es primo.
Demostración:
p o p+1 o p+2 es multiplo de 3. Como p y p+2 son primos y distintos de 3, necesariamente p+1 es multiplo de 3. Luego p+4=(p+1)+3 es multiplo de 3. QED
Los pares de primos de la forma (p,p+2) se llaman primos gemelos. Es un famoso problema abierto demostrar la existencia de una infinidad de pares de primos gemelos. Luego tampoco se sabe si existe una infinidad de cuadrupletes primos. Es natural conjeturar que se tiene la misma respuesta en los dos problemas, y que seguramente serán resueltos simultaneamente. Los problemas aditivos sobre los números primos pueden ser extremadamente difíciles. El problema más famoso, la Conjetura de Goldbach, sigue abierta: Todo número par es suma de dos números primos.
Sobre números primos y fórmulas se ha escrito mucho intentando encontrar una Formula Divina que generase todos los números primos...
"Dos preguntas tontas para un 1 de agosto, impar y primo."
¿Es 1 un número primo? (Pregunta similar a: ¿Es el cero un número par?) Evidentemente esto depende de la definición que adoptemos de número primo. Según las definiciones modernas, no se considera 1 primo y sí se considera el cero par.
Según la definición favorita de mi hijo de cinco años, 1 no es primo pues no lo podemos partir en partes iguales. Aconsejo a cualquiera esta definición no multiplicativa de número primo, que además puede entender cualquier niño pequeño:
Definición: Un número entero es primo si no puede descomponerse en partes enteras iguales.
Tal vez Sampedro nos esté tendiendo una trampa: ¿Será 1/8/07 un número primo? Pues va a ser que tampoco:
1807= 13x139
10807=101x107
182007=3x3x3x3x3x7
1082007=3x3x120223
Tal vez Sampedro piensa en la fecha escrita de forma anglosajona 8/1/07. Sin embargo
8107=11x11x67
812007=3x3x7x12889
Pero...80107 si es primo...aunque esto ya sería rizar el rizo.
Dejemos para más adelante la interesante cuestión de si debemos considerar la unidad como un número primo y continuemos nuestra lectura.
A continuación Sampedro elucubra sobre el origen de nuestro sistema decimal. Los Incas utilizaban un sistema en base 20 y los babilonios en base 60. Además estos últimos inventaron la notación posicional. Es un misterio el origen de las bases. Se han formulado diferentes hipótesis de origen "fisiológico". Sin embargo está claro que la base 60 utilizada por los babilonios está admirablemente bien adaptada a los cálculos numéricos y a los cálculos astronómicos. Aquellos que no sepan porque tenemos doce meses, los ángulos se miden en grados, un ángulo pleno son 360 grados, y el día tiene 24 horas, pueden empezar a entenderlo sabiendo que la base de los babilonios era 60. No podemos aconsejar mejor referencia para estas cuestiones que el libro exhaustivo de Georges Ifrah "Histoire universelle des chiffres".
A continuación Sampedro nos habla de los dos huesos de Ishango (sic):
"Parece ser que las fórmulas se inventaron en África bastante antes que en Mesopotamia. Tomen los dos huesos de Ishango, hallados en 1960 en el entonces Congo Belga (República Democrática del Congo) y conservados en el Instituto Real de Ciencias Naturales, en Bruselas. Tienen unos 10 o 12 centímetros de largo y están totalmente cubiertos de muescas transversales agrupadas en cifras."
Una primera observación es que no hay dos huesos de Ishango, sinó que es uno sólo, como puede leerse en el link de la Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ishango_bone
No nos confundamos. La foto es de la dos caras del mismo hueso.
La antiguedad del yacimiento donde se encontró el hueso se evalua actualmente a 20000 años. Claro que este dato hay que tomarlo con cierta precaución...
A continuación Sampedro nos informa de la teoría fantástica que alguien debió formular después de fumar algo no muy legal: Puesto que en los huesos podemos leer el cuadruplete primo 11, 13, 17,19, ello puede indicar el conocimiento y estudio de los números primos por parte de las civilizaciones antiguas. Esto es muy poco creible teniendo en cuenta que no hay traza de estudio de los números primos en el muy abundante material sumerio muy posterior.
Lo más probable es que las marcas en el hueso sirviesen como método contable como se hacía no hace tanto tiempo en el mundo anglosajón de las finanzas (para ello ver el origen de la palabra "stock"). También se conocen otros ejemplos similares de contabilidad por incisiones en huesos como la tibia de lobo encontrada en Vestonice (Moravia) en 1937 (E. Kolman "Istoriya matematiki v drevnosti", Moscú 1961).
También nos habla Sampedro de los cuadrupletes primos:
"Una serie, por ejemplo, dice 11, 13, 17 y 19. Es un cuadruplete de primos: si p es un número primo, un cuadruplete es (p, p+2, p+6, p+8). El pobre p+4 no puede estar porque siempre es divisible por 3, y por tanto no es primo. Un cuadruplete de primos se compone de dos pares de gemelos: dos primos con sólo un número en medio, como 11 y 13. Y los cuatro miembros del cuadruplete suman 60."
Puntualicemos que el resultado enunciado sólo es cierto si p es distinto de 1 y de 3 (y p=1 no parece excluido debido a la primera frase). Pues (1,3,5) y (3,5,7) son tripletes de primos. En efecto tenemos el Teorema evidente siguiente:
Teorema:
Supongamos p distinto de 1 y de 3. Si p y p+2 son primos entonces p+4 es divisible por 3 y no es primo.
Demostración:
p o p+1 o p+2 es multiplo de 3. Como p y p+2 son primos y distintos de 3, necesariamente p+1 es multiplo de 3. Luego p+4=(p+1)+3 es multiplo de 3. QED
Los pares de primos de la forma (p,p+2) se llaman primos gemelos. Es un famoso problema abierto demostrar la existencia de una infinidad de pares de primos gemelos. Luego tampoco se sabe si existe una infinidad de cuadrupletes primos. Es natural conjeturar que se tiene la misma respuesta en los dos problemas, y que seguramente serán resueltos simultaneamente. Los problemas aditivos sobre los números primos pueden ser extremadamente difíciles. El problema más famoso, la Conjetura de Goldbach, sigue abierta: Todo número par es suma de dos números primos.
Sobre números primos y fórmulas se ha escrito mucho intentando encontrar una Formula Divina que generase todos los números primos...
Formulas que mueven el Mundo
Este es un Re-blog del blog del periodista Javier Sampedro
Formulas que mueven el Mundo
Comentaremos, aumentaremos y enriqueceremos (...y alguna vez...esperamos que las menos...fustigaremos) los temas tratados por Javier Sampedro, al que aprovechamos para felicitar por su iniciativa de divulgación Matemática.
Formulas que mueven el Mundo
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