La constructibilidad por regla y compás sólo empieza a plantearse como problema a partir de la época griega. Los tres problemas más famosos son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo, y la trisección del ángulo. Ya desde ese tiempo se descubrieron soluciones "transcendentes", esto es, utilizando algo más que la regla y el compás (típicamente una curva no circular de la cual podemos encontrar un conjunto denso de puntos mediante regla y compás). Sin embargo hubo que esperar mucho más para la demostración de su imposibilidad.
Otro problema que ocupaba a los griegos era la construcción de polígonos regulares mediante regla y compás. Sin duda los babilonios conocían bastante más que la construcción clásica del hexágono. Por cierto, que basta de una moneda para construir los vértices. Euclides da en sus elementos la construcción del pentágono regular. Pasar de n lados a 2n es fácil (Ejercicio: Demostrarlo). El primer polígono sin construcción es el heptágono.
Durante 2000 años no hubo ningún progreso en este problema hasta que un joven Gauss demostró la constructibilidad del polígono de 17 lados. No sólo eso, sinó que en sus "Disquisiciones Arithmeticae" (1801) demuestra la constructibilidad de todo polígono regular de n lados cuando n es un primo de Fermat, esto es de la forma F(n)=2^(2^n)+1. Los primeros primos de Fermat son 3, 5, 17, 257, 65537. Fermat conjeturo que eran todos primos, pero Euler demostró que F(5)=4294967297 era divisible por 641 (verificarlo), y se continua sin conocer ninguno más que sea primo.
De todos es conocida la precocidad de Gauss. Uno de los grandes, pero lamentablemente una figura tal vez exageradamente idolatrada. Gauss literalmente cambio el sentido de hacer Matemáticas e introdujo un rigor y precisión desconocido hasta la época, con la notable excepción de la geometría clásica y los elementos de Euclides. En cierta manera se aprovechó de esto, de forma poco honrosa, y ello está en el origen de las agrias polémicas con Legendre en sus disputas de prioridad sobre la fórmula de reciprocidad y la conjetura sobre la distribución asintótica de números primos.
La teoría de la ecuación ciclotómica (x^n-1=0) desarrollada en las "Disquisiciones Arithmeticae" demuestra que todo polígono regular de n lados es constructible cuando n sólo es divisible por 2 o primos de Fermat, pero no por el cuadrado de ningún primo impar. Sin embargo es absolutamente falso que la necesidad de esta condición fuese demostrada por Gauss cómo regimientos de historiadores e insignes matemáticos (algunos sospechosos de germanofilia) han venido escribiendo desde el siglo XIX. Aunque Gauss lo afirma sin demostración, jamás lo publicó ni se encontró la demostración en los manuscritos que dejó. Para ello le hubiese sido necesario desarrollar una parte de la teoría de Galois creada por Galois y Abel. Como algunos ya han observado, la no constructibilidad del polígono regular de 9 lados implica la imposibilidad de trisecar un ángulo de 120 grados y hubiese resuelto Gauss también el problema de la trisección del ángulo. Paradójicamente esta sí se atribuye correctamente al joven matemático francés Pierre Wantzel (1837) contemporaeo de Galois y Abel.
Estos errores de atribuciones históricas tienen su explicación. Por una parte, cómo alguien dijo en cierta ocasión, nadie lee los textos clásicos importantes. Este es un defecto más propio de los Matemáticos profesionales que de los historiadores de las Matemáticas. Además existe una tendencia natural de sobrevalorar y nunca cuestionar a los matemáticos iconizados. Este error lo padecen tanto los matemáticos profesionales como los historiadores. Añadiremos a esto que una vez que se repite el error, un fenómeno bien conocido de psicología social, hace muy difícil que se replantee la cuestión de forma crítica. Actualmente oimos cómo, cuales papagayos, unos y otros se llenán la boca repitiendo lo fantástico de tal o cual solución reciente de un célebre problema. Se permiten proclamarlo en la prensa enfangando nuestra ciencia. Pero... ¿Cuantos han leido y entendido la demostración? Querido lector...un secreto...la mayoría de veces ninguno...
Volviendo a las construcciones con regla y compás, las demostraciones sobre su imposibilidad se basan en una observación relativamente simple. A partir de puntos con coordenadas racionales, sólo podemos construir isando regla y compás puntos cuyas coordenadas satisfacen ecuaciones mínimas con coeficientes enteros cuyo grado es una potencia de dos. Esto es fácil demostrarlo estudiando las ecuaciones de intersección de círculos y rectas. Este es el principio de base del artículo de Wantzel que demuestra la imposibilidad de duplicar el cubo (la raíz cúbica de dos satisface la ecuación mínima de grado 3), trisecar el ángulo, o construir polígonos regulares sin la condición de Gauss.
Para la cuadratura del círculo habría que esperar casi medio siglo más a que Lindemann demostrase en 1882 (extendiendo los métodos de Hermite para e, la base del logaritmo neperiano) que π es transcendente.
Ejercicio del día: Explicar porqué estos dibujos se parecen (aunque el de la izquierda sea un pentágono también los hay con forma hexágonal). ¿Nos da esto una pista sobre el origen del casquete hexagonal de Saturno?
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