Un caso para Salinas

Nuestra mente es intrinsecamente no matemática. Uno de los aspectos más curiosos es la dificultad que tenemos en percibir fenómenos aleatorios independientes. Por tendencia natural siempre intentamos establecer correlaciones que casi nunca existen. Dada una sucesión como 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1 inmediatamente estableceremos varios algoritmos que nos genere el siguiente término de la sucesión.

Este fenómeno está en el origen de muchos errores conceptuales. Muchos juegan a la Primitiva apostando a los números que no han salido, pensando que necesariamente tienen más posibilidades de aparecer en el próximo sorteo. Inconscientemente tienen la convicción que debe existir una correlación entre sorteos diferentes. Paradojicamente creen eso porque entienden mal la noción de equiprobabilidad y de independencia. Otro error común es pensar que jugando a cara o cruz, esperando suficientemente, en cierto momento deberías ganar o quedarte a la par. Ejercicio: Demostrar que no es cierto.

Estos "bias" psicológicos se presentan constantemente en los mercados de valores, dónde las reacciones humanas de miedo y codicia afloran. El "análisis técnico" es una pseudo-ciencia que intenta entender y explotar estos aspectos mediante el estudio de patrones comunes en las variaciones de precios. El medio académico han despreciado tradicionalemente el Análisis Técnico poniéndolo al mismo nivel que la astrología. Sin embargo los "traders" profesionales les responden que lo que es irrealista es la hipótesis del mercado eficiente.

¿Alguien sabe cómo explotar estos defectos humanos para jugar a la Primitiva con ventaja?

Las tres montañas

La independencia del quinto postulado de Euclides (Por todo punto externo a una recta pasa una única recta paralela) de los otros axiomas de la geometría euclidea es otro de los problemas clasicos resueltos durante el siglo XIX.

En geometría euclidea la suma de los ángulos de un triángulo es el ángulo plano (demostrarlo). Esto se deduce del quinto postulado de Euclides. Y se puede demostrar que le es equivalente.

¿Cómo se demuestra que un axioma es realmente independiente de los demas? Para ello es necesario demostrar la existencia de otra teoria que satisfaga todos los otros axiomas excepto este. Lobachetski y Bolai (hijo) desarrollaron independientemente estas geometrias no-euclideas. De nuevo en esto se cita y da crédito a Gauss de forma bastante gratuita. No publicó realmente trabajos sobre este problema.

Estas geometrías fueron calificadas de "imaginarias" pues se desarrollaron sin un modelo concreto. Con el proceso de maduración que ya conocemos, el problema fue totalmente resulto en cuanto se explicitaron representaciones concretas de estas geometrías. Esto vino más tarde de la mano de Beltrami y Poincaré.


La dificultad del problema consistía en imaginar geometrías distintas de la euclidea: Había que reemplazar rectas por geodésicas. Estás geométrías son abundantes: En la superficie de la esfera tenemos ejemplos de geometría de curvatura positiva, y en la del hyperboloide de revolución (figura) de curvatura negativa.

Más tarde Klein entendió la esencia de las geometrías mediante sus grupos naturales de transformaciones. También antes Riemann dio un paso de gigante al concebir, por primera vez en la historia, geométrías intrinsecas, esto es, que no necesitan estar embebidas en un espacio euclideo (esta es la conclusión a la que se llega después de descubrir como trabaja con métricas finslerianas no Riemannianas en su célebre discurso inaugural).

Ejercicio de reflexión: Entender que distingue al círculo euclideo en el plano del segmento [0,1] después de identificar 0 y 1. Si viviesemos en un mundo uno-dimensionale y viviesemos en uno u otro círculo ¿Cómo lo sabríamos?

La jota de la roseta

Los polígonos regulares han sido un tema predilecto de los geómetras quienes se han dedicado a construirlos y estudiarlos desde las épocas más remotas. Algunas de las más bellas tablillas babilónicas son precisamente aquellas que contienen figuras geométricas entre las que abundan los polígonos regulares.

La constructibilidad por regla y compás sólo empieza a plantearse como problema a partir de la época griega. Los tres problemas más famosos son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo, y la trisección del ángulo. Ya desde ese tiempo se descubrieron soluciones "transcendentes", esto es, utilizando algo más que la regla y el compás (típicamente una curva no circular de la cual podemos encontrar un conjunto denso de puntos mediante regla y compás). Sin embargo hubo que esperar mucho más para la demostración de su imposibilidad.

Otro problema que ocupaba a los griegos era la construcción de polígonos regulares mediante regla y compás. Sin duda los babilonios conocían bastante más que la construcción clásica del hexágono. Por cierto, que basta de una moneda para construir los vértices. Euclides da en sus elementos la construcción del pentágono regular. Pasar de n lados a 2n es fácil (Ejercicio: Demostrarlo). El primer polígono sin construcción es el heptágono.

Durante 2000 años no hubo ningún progreso en este problema hasta que un joven Gauss demostró la constructibilidad del polígono de 17 lados. No sólo eso, sinó que en sus "Disquisiciones Arithmeticae" (1801) demuestra la constructibilidad de todo polígono regular de n lados cuando n es un primo de Fermat, esto es de la forma F(n)=2^(2^n)+1. Los primeros primos de Fermat son 3, 5, 17, 257, 65537. Fermat conjeturo que eran todos primos, pero Euler demostró que F(5)=4294967297 era divisible por 641 (verificarlo), y se continua sin conocer ninguno más que sea primo.

De todos es conocida la precocidad de Gauss. Uno de los grandes, pero lamentablemente una figura tal vez exageradamente idolatrada. Gauss literalmente cambio el sentido de hacer Matemáticas e introdujo un rigor y precisión desconocido hasta la época, con la notable excepción de la geometría clásica y los elementos de Euclides. En cierta manera se aprovechó de esto, de forma poco honrosa, y ello está en el origen de las agrias polémicas con Legendre en sus disputas de prioridad sobre la fórmula de reciprocidad y la conjetura sobre la distribución asintótica de números primos.

La teoría de la ecuación ciclotómica (x^n-1=0) desarrollada en las "Disquisiciones Arithmeticae" demuestra que todo polígono regular de n lados es constructible cuando n sólo es divisible por 2 o primos de Fermat, pero no por el cuadrado de ningún primo impar. Sin embargo es absolutamente falso que la necesidad de esta condición fuese demostrada por Gauss cómo regimientos de historiadores e insignes matemáticos (algunos sospechosos de germanofilia) han venido escribiendo desde el siglo XIX. Aunque Gauss lo afirma sin demostración, jamás lo publicó ni se encontró la demostración en los manuscritos que dejó. Para ello le hubiese sido necesario desarrollar una parte de la teoría de Galois creada por Galois y Abel. Como algunos ya han observado, la no constructibilidad del polígono regular de 9 lados implica la imposibilidad de trisecar un ángulo de 120 grados y hubiese resuelto Gauss también el problema de la trisección del ángulo. Paradójicamente esta sí se atribuye correctamente al joven matemático francés Pierre Wantzel (1837) contemporaeo de Galois y Abel.

Estos errores de atribuciones históricas tienen su explicación. Por una parte, cómo alguien dijo en cierta ocasión, nadie lee los textos clásicos importantes. Este es un defecto más propio de los Matemáticos profesionales que de los historiadores de las Matemáticas. Además existe una tendencia natural de sobrevalorar y nunca cuestionar a los matemáticos iconizados. Este error lo padecen tanto los matemáticos profesionales como los historiadores. Añadiremos a esto que una vez que se repite el error, un fenómeno bien conocido de psicología social, hace muy difícil que se replantee la cuestión de forma crítica. Actualmente oimos cómo, cuales papagayos, unos y otros se llenán la boca repitiendo lo fantástico de tal o cual solución reciente de un célebre problema. Se permiten proclamarlo en la prensa enfangando nuestra ciencia. Pero... ¿Cuantos han leido y entendido la demostración? Querido lector...un secreto...la mayoría de veces ninguno...

Volviendo a las construcciones con regla y compás, las demostraciones sobre su imposibilidad se basan en una observación relativamente simple. A partir de puntos con coordenadas racionales, sólo podemos construir isando regla y compás puntos cuyas coordenadas satisfacen ecuaciones mínimas con coeficientes enteros cuyo grado es una potencia de dos. Esto es fácil demostrarlo estudiando las ecuaciones de intersección de círculos y rectas. Este es el principio de base del artículo de Wantzel que demuestra la imposibilidad de duplicar el cubo (la raíz cúbica de dos satisface la ecuación mínima de grado 3), trisecar el ángulo, o construir polígonos regulares sin la condición de Gauss.

Para la cuadratura del círculo habría que esperar casi medio siglo más a que Lindemann demostrase en 1882 (extendiendo los métodos de Hermite para e, la base del logaritmo neperiano) que π es transcendente.

Ejercicio del día: Explicar porqué estos dibujos se parecen (aunque el de la izquierda sea un pentágono también los hay con forma hexágonal). ¿Nos da esto una pista sobre el origen del casquete hexagonal de Saturno?

Sexo en Mongo

Sobre las cuestiones de sexo y Matemáticas no nos aventuraremos por el momento...aunque habría bastante que decir sobre las técnicas de ligoteo, que al fin y al cabo forman parte de la Teoría de Juegos. Reservamos estos temas para cuando la audiencia decaiga.

Más que de "Teoría de Juegos" deberíamos hablar de "Teorías de Juegos" para designar a esta proto-teoría tan interesante, tan incompleta y tan necesitada de principios generales, y que nadie entiende (los primeros los economistas...prometo más adelante hablar de ellos...cuando Sampedro no me dicte la temática del día). Cuando el juego se mezcla además con la intrínseca irracionalidad humana, nos plantea problemas extremadamente interesantes pero de difícil modelización matemática.

Hay poco que añadir a lo que ya manifestamos anteriormente sobre la existencia absoluta de las Matemáticas. No nos parece la cita de Ian Stewart contradictoria con esto. Todo lo contrario. A pesar de que las Matemáticas existen de forma absoluta, las Matemáticas que hacemos los humanos están sin duda condicionadas por nuestra fisiología animal. La formalización y generalización es una lucha constante contra nuestros instintos primitivos, pues tenemos una aversión natural a la abstracción. Esto requiere cierta experiencia y disciplina. Es por ello que es un error enseñar directamente Matemáticas formalizadas. Aparte de Deligne, ¿Quién es capaz de aprender directamente de los libros de Bourbaki? A nivel de enseñanza elemental, esto también es un grave problema. ¿Cuantos grandes Matemáticos se han malogrado de esta manera?

El problema más serio de la enseñanza de las Matemáticas a nivel universitario es el poco aprecio por el desarrollo de la intuición. La intuición también se aprende. Pero hay que practicarla. Esto contrasta radicalmente con el estilo de enseñanza en Física. Deberíamos inspirarnos mucho más de Euler (por cierto, feliz 300 aniversario) y enseñar un poco más de "Magia Matemática".

Ejercicio del día: Imaginen un mundo donde la constante de Planck fuese enorme, tanto que no tuviese sentido "contar". ¿Cómo serían las Matemáticas del los seres inteligentes que habitasen ese mundo? ¿Podrían definir la función exponencial? ¿Cómo?

Para concluir, prometi los escanes de los dibujos originales de Kepler. Aquí van:

Intuición elíptica

Las cónicas surgen de forma natural en la geometría euclidea tridimensional como secciones planas de conos. Así fueron estudiadas por Menaechmus, discípulo de Eudoxus (el hombre que entendió los irracionales, como ya vimos), quien las utilizó para dar una solución (sin "regla y compás"...) al famoso problema de la duplicación del cubo (lo cual es el equivalente a la construcción de la raíz cúbica de 2). Es curioso observar como ya desde la antiguedad los mejores matemáticos se organizaban en escuelas.

Esta propiedad seccional es bien conocida por los amantes del chorizo: cortando transversalmente obtenemos rodajas con forma de elipse (observemos que todo cilindro es un cono degenerado).

Más tarde, Apolonio de Perga escribió su tratado enciclopédico sobre las cónicas en ocho volúmenes, el último de ellos perdido para siempre. Las cónicas se dividen en tres tipos: Las elipses (acotadas), las parábolas (no acotadas ni asintóticas a rectas), y las hipérbolas (no acotadas pero asintóticas a dos rectas). Las elipses generalizan los círculos, y esto ha dado mucho juego.

Fagnano y Euler descubrieron que las integrales elípticas, que dan la longitud de arco de las elipses, tienen propiedades aditivas similares a las funciones inversas trigonométricas (a las que de hecho se reducen cuando la elipse es circular). Legendre estudió a fondo las funciones elípticas y similares, las cuales generalizaban las funciones trigonométricas clásicas. Su trabajo fue proseguido por Abel, Galois, Jacobi, Liouville, Riemann, Hermite,...dando lugar a algunas de las más ricas teorías de la Matemática moderna.

Las cónicas tienen interesantes propiedades que las hacen ubicuas, tanto en Matemáticas como en otras ciencias. Matemáticas y Astronomía eran indistinguibles hasta una época muy reciente. Apolonio planteó la teoría de los epiciclos como modelo de movimiento planetario. Esto es, un modelo de movimiento circular compuesto con otro movimiento circular cuyo centro evoluciona en el primer círculo. Pero cómo descubrió Kepler y cuantificó Newton, los movimientos planetarios en el problema de dos cuerpos son cónicas. ¿Cómo se le pudo escapar esto a Apolonio, nuestro gran especialista en cónicas ? Curiosamente nadie se plantea seriamente esta pregunta...

De nuevo vemos precipitarse a regimientos de historiadores en un pozo de ignorancia juzgando la ciencia pasada con un complejo de superioridad otorgado por la ciencia moderna. Les vemos reirse del "error pueril" (sic) de los astrónomos griegos, y ensalzar el avance de Kepler. Sin embargo...en realidad...ríen de su propia ignorancia como vamos a ver.

En efecto, cuando hay más de dos cuerpos, el sistema no es integrable tanto desde el punto de vista de la resolución de las ecuaciones diferenciales como desde el punto de vista dinámico (explicaremos esto más adelante). Es lo que ocurre en el sistema solar, el principal sistema, junto con el del tierra-sol-luna, que interesaba a los griegos (y de los que tenían mediciones precisas desde hacía cientos, sinó miles, de años). Los movimientos reales de los planetas en el sistema solar son cuasi-periódicos. Son perturbaciones de las trayectorias elípticas ideales (que son casi círculos, esto es elipses con muy pequeña excentricidad) de los sistemas binarios planeta-sol. El modelo de los epiciclos aproxima mucho mejor el movimiento real que el del movimiento elíptico. Sobre todo teniendo en cuenta que se pueden construir epiciclos de orden mayor (esto es superponiendo más movimientos circulares pequeños).

¿A qué les suena a ustedes esto de superponer movimientos periódicos? Si señores...los modelos refinados de los epiciclos no son, ni más ni menos, que el analisis de Fourier moderno. Sobre todo el modelo es infinitamente refinable dando cuenta de las mediciones. Todo esto no sólo es válido para el sistema tierra-sol-luna, sinó que incluso es mucho más cierto por la mayor perturbación solar en el sistema binario tierra-luna.

De esto concluimos que el progreso de la teoría de Kepler fue más de orden conceptual que práctico. Y se demostró a posteriori con la teoría de gravitación universal de Newton.

Finalmente queremos concluir intentando explicar algo la noción de integrabilidad. Las elipses pueden definirse no sólo como secciones cónicas, pero también como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. De esto se puede demostrar que en una mesa de billar, si tenemos un agujero en un foco, no importa como lancemos la bola desde el otro foco, esta caerá en el agujero después de rebotar contra la pared. Ejercicio (muy bueno) para el lector: Demostrar esta propiedad utilizando unicamente la definición de elipse que acabamos de dar y la desigualdad triangular (¡prohibido usar coordenadas!).

Dada una mesa de billar convexa y sin agujeros esta vez, podemos estudiar la evolución de una trayectoria que rebota en el borde según la ley de reflexión de Descartes (mismo ángulo de incidencia y de salida con la tangente en el punto de impacto. Suponemos que hay tangente en todo punto). El movimiento puede ser más o menos complicado. Ejercicio: Aunque no haya tangente en todo punto, ¿Qué pasa en un cuadrado? ¿Y en un polígono regular que enladrilla el plano?

En una elipse tenemos la propiedad sorprendente siguiente: Los puntos de impacto de toda trayectoria se ordenan circularmente en la elipse igual que la órbita de un punto de un círculo por una rotación (el ángulo de rotación depende de la trayectoria y se llama el número de rotación). Ejercicio (no es tan fácil): Demostrar esta propiedad. Todos los billares que tengan esta propiedad se llaman integrables (pero la noción de sistema hamiltoniano integrable es otra que se generaliza a la Mecánica Celeste. Newton demostró que el problema de dos cuerpos era integrable, y Poincaré que él de tres cuerpos no lo era para casi todas las elecciones de masas. El problema para cualquier distribución de masas sigue abierto).

Conjetura de Birkhoff: Los únicos billares integrables son los elípticos.

Esta conjetura continua sin demostración hoy en día. Por cierto, que para el óvalo en forma de estadio se sabe que no es integrable.

Siguen dando juego las elipses...

El papiro Rhind

El mal llamado papiro de Rhind es uno de los pocos papiros (junto con el de Moscú) que nos han llegado de la época egipcia. Como otros ya han observado sería más correcto llamarlo papiro de Ahmes (el autor) en vez de nombrarlo por el nombre del egiptólogo que lo compró en el siglo XIX.

La mayor dificultad en la historia de las Matemáticas es entenderla en su contexto, y no a través de los conocimientos que tenemos hoy en día. Para ello, paradójicamente, no sólo hace falta una preparación matemática exhaustiva, también hay que tener una amplia perspectiva del contexto en que se desarrollan las ideas. Desgraciadamente numerosos historiadores pecan de lo primero, y muchos más de lo segundo. Las Matemáticas antiguas son elementales pero las ideas que están detrás son sutiles e inhabituales. Las ideas Matemáticas existen en germen antes de que sean expuestas. Se desarrollan lentamente, cambian, maduran y a menudo sufren una metamorfosis que las transforma de forma irreconocible. En todo este proceso, la representación concreta de las nociones abstractas es una etapa fundamental cómo ya hemos comentado en otra entrada.

De las Matemáticas egipcias tenemos poca información. Sin embargo, disponemos de más abundante información sobre las Matemáticas griegas y las babilónicas. Podemos con ello "interpolar" e indagar mejor sobre las Matemáticas egipcias. Sin duda los griegos heredaron grandes conocimientos geométricos de los egipcios. De allí importó Pitágoras mucha geometría incluyendo "su" teorema.

El sistema numérico de los egipcios no era posicional y por ello era cualitativamente peor que el sistema sexagesimal de los babilonios. Como nos muestra el papiro del escriba Ahmes, los egipcios trabajaban con racionales representándolos como "fracciones egipcias", esto es, como suma de inversos de enteros (distintos si se desea). Con nuestros conocimientos actuales, esto puede parecer engorroso e inapropiado, y hasta alguno pueda cuestionar la capacidad de los egipcios para trabajar con fracciones. En absoluto. Les bastaba trabajar con inversos de enteros, para trabajar con fracciones generales. Es un gran progreso respecto a la representación de los racionales por los babilonios. Por una parte los babilonios únicamente trabajaban con racionales con una expansión sexagesimal finita (ver por ejemplo la famosa tablilla Plimpton 322). Sin embargo los egipcios conseguían por su método barroco representar cualquier racional, incluido el fatídico 1/7 de los babilonios, por un número finito de símbolos. Ejercicio para el lector: Demostrar que todo racional es suma finita de inversos de enteros distintos.

Esta representación por "fracciones egipcias" está adaptada a las operaciones usuales. Sólo podemos maravillarnos por la facilidad de la multiplicación comparada con la multiplicación de los racionales babilónicos (basta multiplicar entre si enteros pequeños). Sumarlos es igualmente trivial. Si se quiere descomponer en inversos de distintos enteros, es suficiente tener una tabla que descomponga los 2/n, la cual encontramos en el papiro de Ahmes para todos los n impares del 5 al 101 (2/3 es una excepción). Ejercicio (fácil) para el lector: Demostrar esta última afirmación. ¿Por qué 2/3 es una excepción?

Desde nuestro punto de vista moderno, esta representación por fracciones egipcias tiene el defecto de no ser única. Pero ello no limita su utilidad práctica. Todo lo contrario: La facilita.

Esto no es una palabra

El lenguaje matemático es algo que algunos consideran irrelevante y otros fundamental. Nosotros nos situamos en el segundo grupo. Se sabe bien que un simple vistazo a las notaciones y la estructura verbal utilizadas es revelador del nivel de cualquier texto matemático. Muchas veces el progreso conceptual en Matemáticas se basa en desarrollar buenas notaciones, así como en obtener representaciones concretas de los nuevos objetos abstractos. El Cálculo Infinitesimal, con sus notaciones diferenciales e integrales, es un buen ejemplo. Marca sin duda el despegue del análisis del estado naciente en que lo dejaron los griegos. Otro ejemplo destacable es la representación geométrica de los números complejos por puntos en el plano. Fue un gran salto cualitativo en su comprensión desde su introducción por la escuela italiana en la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Un ejemplo anterior es la geometrizacón de los números positivos mediante longitudes geométricas. Los babilonios, aunque sabían aproximar la raíz cuadrada de 2 (como lo demuestran numerosas tablillas de arcilla que se han recuperado), aborrecian los irracionales así como los racionales sin representación sexagesimal finita. El infinito siempre ha causado vértigo.

Es necesario distinguir claramente entre el lenguaje y la estructura de los razonamientos lógicos. El teorema de Incompletitud de Gödel es una observación, relativamente simple y astuciosa, que todo sistema axiomático que contenga los axiomas de Peano (que sirven para construir los enteros) contiene proposiciones no decidibles. Esto significa que ni ellas ni su negación son demostrables. Y "demostrables" se entiende en término de las reglas de demostración clásicas.

La principal pega de estas reglas de demostración clásicas es su finitud. El número de proposiciones que podemos demostrar a partir de un sistema finito de axiomas y un lenguaje finito es numerable (esto es, son infinitas pero no más infinitas que los enteros. Lo cual es el infinito "más pequeño" que podemos imaginar). Podemos asociar de forma única un entero a cada demostración. Este es el punto de partida de Gödel. Obviamente, para los que creemos en el papel fundamental de la imaginación en Matemáticas, esto es completamente inadecuado. La creación divina no es numerable y la inventiva humana también traspasa los rígidos marcos de la numerabilidad. Desde este punto de vista, el teorema de Gödel es perfectamente natural. Es chocante que un Hilbert cayese en la falacia de los Principia Mathematica.

Personalmente no nos asustan ni recusamos las proposiciones indecidibles. Preferimos considerarlas como Proposiciones mal planteadas respecto a la axiomática, lo cual puede ser debido a una axiomática deficiente.

Las reglas de la lógica tienen sus trampas. Una vez entendido el teorema de Gödel y la existencia de proposiciones indecidibles, deberíamos seguir la propuesta intuicionista excluyendo de nuestras demostraciones todo razonamiento por el absurdo ("reductio ad absurdum"). En ese tipo de demostración (que ya hemos visto anteriormente en la demostración de la irracionalidad de 2) suponemos que la conclusión no se verifica y mediante razonamiento lógico llegamos a una contradicción. Luego lo que queríamos demostrar debe ser cierto, y eso acaba la demostración. El "debe" es una falacia considerando el teorema de Gödel. Podría ocurrir que nuestra proposición fuese indecidible. Luego que no sea falsa no significa que sea cierta en el sentido que pueda derivarse de nuestros axiomas. Los intuicionistas (con el topólogo Bouwer, el del Teorema del punto fijo, a su cabeza) no admitían las demostraciones por el absurdo.

Sin embargo, la mayoría de textos matemáticos se salvan pues en el 99.99% de las ocasiones, las demostraciones por el absurdo pueden reescribirse como demostraciones directas. Es siempre un ejercicio interesante el hacerlo. Pero...¿siempre?

Desgraciadamente no siempre. Todos los estudiantes de Matemáticas han visto la demostración increible que el cardinal de el conjunto de partes de un conjunto es siempre mayor que el cardinal del conjunto (por ejemplo, el conjunto de sucesiones de enteros es no numerable). Recordemos la demostración. Si A es el conjunto y P(A) es el conjunto de partes, supongamos por el absurdo que existe una biyección (esto es, una correspondencia biunívoca) f:A->P(A). A continuación consideremos el subconjunto B de A formado por los elementos x en A tales que x no sea elemento de f(x) (sin duda hay que ser un poco retorcido para definir un tal conjunto). Entonces sea b en A tal que f(b)=B. Por una parte podemos ver que si b no está en f(b) entonces b está en B (por definición de B), pero entonces b no estaría en f(b)=B (por definición de B de nuevo). Absurdo.

¿Alguien sabe demostrar esto sin recurrir al absurdo? El que lo sepa que nos lo cuente.