El arenque rojo

Hoy Sampedro nos habla del popular "red herring" anglosajón. Creo que esto es toda una confesión que en los últimos días nos ha estado tomando algo el pelo. ¡Y encima recochineo! Le damos un voto de confianza para que a partir de ahora esto mejore. Con la presión que ejercemos desde este blog, esto está asegurado. Ya le hemos visto pedir ayuda sobre un problema de "tillings". Desde aquí se la ofrecemos de forma gratuita, desinteresada y anónima.

Continuando con el tema de ayer, sobre la cuadratura del círculo y definiciones de π , vamos a intentar entender lo que inducía a pensar a nuestros ancestros (y a algunos contemporaneos...) que se podía cuadrar el círculo. Varios "red herrings" aparecen en este tema.

Por un lado los griegos sabían de la existencia de números irracionales. Se puede decir que uno de los grandes avances de la Matemática griega respecto a sus antecesores, egipcios y babilonios, fue el de "geometrizar la aritmética". Como lo describe perfectamente Euclides en sus elementos, los números (positivos todos en esa época) corresponden a longitudes de segmentos. La suma se obtiene por yuxtaposición y el producto de forma algo más complicada, pero mediante una construcción mediante regla y compás (Ejercicio para el lector). Los griegos conocían, mediante el mal llamado Teorema de Pitágoras (bien conocido de los babilonios), que la longitud de la diagonal de un cuadrado unidad era la raíz cuadrada de 2, y habían descubierto con pavor que no era racional (Supongo que todos ustedes saben como demostrarlo, pero no tengo inconveniente en recordar la bella demostración...empiecen suponiendo por el absurdo que es racional de la forma a/b con a o b impar...y vean que pasa utilizando que si un cuadrado es par entonces sólo puede ser el cuadrado de un número par). Este es seguramente un primer "red herring". No parece que haya inconveniente en construir mediante regla y compás el irracional √2. ¿Por qué no sería posible con π ?

La definición de π adoptada por las civilizaciones antiguas supone que existe la longitud de un círculo, lo cual lo establecen por primera vez los griegos y, por supuesto, sin recurso al cálculo integral. Sólo mediante un proceso de paso al límite. Este es el método de exhaustión inventado por Eudoxus de Cnidus, quien seguramente fue el primer matemático capaz de entender a fondo la noción de número irracional hasta su formalización en el siglo XIX por Dedekind. El método de exhaustión consiste en aproximar el círculo mediante curvas poligonales. Por ejemplo, el hexágono regular máximo inscrito en el círculo muestra que π es mayor que 3 y el cuadrado circunscrito que π es inferior a 4 (Ejercicio: Demostrar rigurosamente esto último (lo primero es más fácil)).


Pero el valor preciso de π ha hecho correr ríos de tinta, y el método de exhaustión descrito es un precursor del cálculo infinitesimal, pero tiene grandes limitaciones de tipo práctico para evaluar correctamente π .

Otro "red herring" en este problema fue el descubrimiento por Hippocrates de Chios de la cuadratura de ciertas lunas. El área de las regiones azules es igual al de la región naranja, luego la luna mayor (Ejercicio para el lector), formada por los dos arcos de círculo, tiene la misma area que el triángulo del dibujo. Si tomamos como radio del círculo mayor la unidad, entonces la luna tiene area que podemos cuadrar, contrariamente al semi-disco.




Hay muchas otras lunas cuadrables. Leonardo Da Vinci pasó muchos años estudiándolas.

¿Podrá el lector encontrar alguna más?

PS: Por cierto, un update sobre Zeltia. Como pueden ver, nuestro analisis es mejor:


Noticia "El Confidencial"