domingo, 5 de agosto de 2007

Rectangulando el círculo


El número π ha causado fascinación en todas los tiempos y culturas. Se han desarrollado multitud de métodos para calcularlo. El sueño secreto de todo geometra desde la antiguedad ha sido encontrar la Fórmula Divina que nos diese exactamente el número π.


La mejor manera de obtener una tal fórmula sería cuadrar el círculo, esto es, mediante una construcción geométrica y siguiendo las reglas de geometría clásica (con regla y compás) construir un cuadrado con la misma area. Nos bastaría "rectangular" el círculo y obtener un rectangulo con esta propriedad, pues es relativamente fácil cuadrar un retángulo con regla y compás (Ejercicio para el lector).


Desgraciadamente este problema que trajo de cabeza durante más de 2000 años a todos los geometras no tiene solución como demostró el matemático alemán Lindemann a finales del siglo XIX. Pero no vamos a hablar de esto hoy. Primero queremos entender precisamente como definir π.


Desde pequeños nos enseñan, y nos creemos sin rechistar, que la longitud de una círculo de radio R es proporcional a R. Nadie nos lo justifica, por una razón muy simple: No es elemental como definir la longitud de una curva. Aquí tenemos un ejemplo de como se genera una curva fractal de longitud infinita, la curva de Von Koch.






Sin embargo, por suerte, esto no sucede con el círculo. Aproximándolo mediante curvas poligonales con vértices en el círculo, la longitud de la linea poligonal se aproxima a un número que es, por definición, la longitud del círculo. Entonces es fácil demostrar que el perímetro del círculo es proporcional al diámetro D=2R. Si dilatamos cualquier linea poligonal con una proporción fija, su longitud total se multiplica por la misma cantidad. Esto permite demostrar pues que el pereimetro P del círculo es proporcional al radio o al diametro.
Definimos entonces π como la razón entre el perímetro y el diámetro:


π=P/D=P/2R .



Pero hay otra definición de π utilizando el área interior al círculo. Esta es proporcional al radio al cuadrado R^2. Esta definición tampoco es elemental pues hay que definir el área de una region delimitada por un borde curvilineo. La noción de área es también muy delicada (¡ existen curvas de area positiva! Algún día hablaremos de ello). Se hace de nuevo por aproximación por regiones poligonales y observando que tras una dilatación las areas se multiplican por el cuadrado de la razón de dilatación. Entonces podemos definir π también como el cociente del area A del disco de radio 1 por el radio al cuadrado R^2:


π=A/R^2 .



Todos conocemos esto. Pero ¿Por qué aparece la misma constante π en ambas definiciones? Esto lo saben explicar pocos, y aún menos sin recurrir al cálculo integral.



Una forma de hacerlo es "rectangulando" el círculo. Lo cortamos en sectores como una pizza, y recomponemos los trozos. Cada vez hacemos la construcción cortándolo en más sectores, como indican las figuras siguientes:














Conforme aumentamos el número de sectores, el círculo recompuesto se aproxima cada vez más a un rectángulo de altura R (el radio del círculo) y de longitud P/2 donde P es el perímetro.


Por otra parte, el area de la figura recompuesta es la misma que la del disco inicial, luego tenemos


A=R.P/2 .


y por lo tanto

A/R^2=π=P/2R


y así pues las dos definiciones de π coinciden. ¡ Voilà !

Esta construcción se puede encontrar en un texto japonés del siglo XVII (Sato Moshun "Tengen Shinan" 1698).


Ejercicios:
(1) Cuadrar cualquier rectángulo mediante regla y compás.



(2) Demostrar que la curva de Von Koch tiene longitud infinita. ¿Tiene tangente en algún punto?

(3) Demostrar que el borde de toda región convexa tiene longitud finita. (Una región convexa es una región del plano tal que el segmento que une cualquier par de puntos de la región está contenido en la región. Observad que un disco es convexo. Y añado...para satisfacer a wookie...que suponemos la región acotada...sinó el resultado sólo es localmente cierto)

14 comentarios:

Anónimo dijo...

Hola. Respecto a tu propuesta de ejercicios, la región convexa que delimita una parábola no tiene borde finito.

Un consejo te ofrezco, de matemático a matemático:

http://www.nodulo.org/ec/2005/n037p03.htm

Gracias a caracola por este fantástico enlace. Gracias a Sampedro,y gracias al resto de "colaboradores" (incluyéndote a ti,claro está).

Anónimo dijo...

Pero ¿la integral no es justamente eso que acabas de hacer?

Anónimo dijo...

Otra pregunta (disculpa mi ignorancia). En tu prueba utilizas un paso al límite: "Conforme (sic) aumentamos el número de sectores...". La integral parte equivalentemente de un conjunto de sectores de área finita y realiza la operación de paso al límite haciendo que el número de esos sectores tienda a infinito y por lo tanto su área se haga, literalmente, infinitesimal. Así es como se explica la integral definida en los libros más básicos. Luego se muestra con el teorema fundamental del cálculo que el uso de la función primitiva permite realizar la operación de modo muy sencillo.

Es decir, no entiendo en qué momento tu demostración cae fuera del cálculo integral, o, si lo prefieres, el cálculo infinitesimal. Si hubiera que explicar a un chico de Secundaria en qué consiste la integral no se me ocurriría otro método más que éste.

El paso al límite convierte la demostración en el ámbito geométrico a una demostración en el campo del análisis matemático, si no estoy equivocado. Para eso, suponiendo que el nivel de los lectores no es desesperadamente bajo, podríamos haber usado simplemente la función primitiva y hubiésemos acabado antes. Sería equivalente.

Por favor, no dejes de hacerme notar si estoy en lo correcto. Un saludo,

Juliano

Galoisiano-Abeliano dijo...

Gracias por vuestros comentarios.

Wookie: En efecto la región debe ser acotada (que daba por supuesto)para que la longitud TOTAL sea finita. Pero no es necesario para que la longitud sea localmente finita. Habrá que aclararlo. Coincido en que tu observación es algo "pedante".
Me alegra que no seas capaz de encontrar ninguna otra imprecisión. Te va a dar trabajo el blog de Sampe...

En todo caso bienvenida la contribución.

Juliano y anónimo: Lo que acabo de hacer implica un paso al límite...como la definición de area o,longitud de una figura no poligonal. Es imposible definir el area de un círculo sin un paso al límite. Sinó seria factible dar una fórmula para pi. Los griegos conocían el "método de exaustión", pero no el cálculo integral...

Un "límite" no es una "integral"...aunque las integrales sean límites...

Anónimo dijo...

Eso ya lo sé, Galoisiano-Abeliano. A lo que yo iba es que tú has dicho que "eso lo saben explicar pocos, y menos sin recurrir al cálculo integral" y luego has recurrido al cálculo integral, como no queda más remedio hacerlo, ya que, como es bien sabido, no se puede cuadrar el círculo. Es decir, que tu demostración no es geométrica, porque no puede serlo, como todos sabemos, y emplea el cálculo integral, o, si quieres, como te decía antes, el análisis matemático. No veo que haya nada sorprendente en ello. Simplemente me ha llamado la atención la divergencia entre lo que prometías aquí o en el blog del que partes y lo que has acabado aportando.

Gracias por la aclaración, aunque lo de que un límite no es una integral ya lo sabía. Lo que yo te quería decir es que tu proceso de cálculo involucraba un límite, y eso lo sacaba del ámbito geométrico donde habías prometido que ibas a moverte, y que es completamente equivalente a hacer una integral, como no podría ser de otro modo.

Un placer,

Juliano

Galoisiano-Abeliano dijo...

Juliano: Lo que entiendo y todo el mundo entiende por "cálculo integral" es la teoría iniciada por Newton y Leibnitz, desarrollada por Euler y otros, y culminada por Riemann y Lebesgue. En particular, incluye el "Teorema fundamental del cálculo integral",etc Si tu lo entiendes de forma diferente, te conviene leer algo más de historia de las matemáticas.

Prometí no recurrir al "calculo integral" y eso he cumplido.

Te recuerdo que los griegos también sabían tomar límites, sin embargo todo el mundo coincide que no sabían cálculo integral.

Anónimo dijo...

Al hilo de lo que apunta Juliano, creo que la figura de tu desarrollo siempre será un romboide, y podrás convertirla en rectángulo sólo, claro en el límite de áreas infinitesimales.

El proceso de cálculo integral que apunta Juliano está enmascarado, creo, en tu cálculo del área, ya que de manera más precisa deberías haber dicho (corrígeme si me equivoco) que el área total correspondería a la suma (integral) entre N=1 e infinito de las áreas de N triángulos de altura R y base P/N cuando N tiende a infinito. Esa suma es, claro, la integral de siempre. Pero el salto de la descomposición triangular al rectángulo final queda demasiado obscurecido por el modo en que lo expresas. Puede servir como truco de magia, pero el público lo nota demasiado.

Como dijiste que ibas a hacerlo sin cálculo integral, me parece que es por ahí por donde iban las preguntas de Juliano.

Un saludo.

Anónimo dijo...

Galoisiano-Abeliano: sé perfectamente lo que es el cálculo integral. No creo que toda objeción que te hagan y no sepas responder de manera clara y precisa puedas soslayarla acusando a los demás de no saber nada. Lo que quería decir es que tu procedimiento de cálculo del área es integral. No hay más.

¿Tú no te dedicas a la enseñanza, verdad? Espero que no, porque si cada vez que alguien te plantea una duda o te señala un posible problema reaccionas echándole en cara su ignorancia y recordándole tu sabiduría, pobres alumnos.

Anónimo dijo...

A ver si lo que te está ocurriendo, Galoisiano-Abeliano, es que has confundido el cálculo integral con el cálculo de integrales y lo que querías decir es que ibas a hacer la demostración sin necesidad de hacer la integral explícitamente, con la función primitiva y eso. Normalmente la gente tiende a pensar que sólo hay integral si hay gusanito, pero el gusanito es lo del paso al límite en el cálculo del área que decía yo antes y como tú sin duda sabes.

Anónimo dijo...

Estimado pedant:
Wookiee se escribe con doble e.

Sigues en tu tono despectivo hacia tus lectores, y eso no hace más que confirmarte en tu pedestal.¡Enhorabuena!. No sólo te encumbras cada vez más, sino que cada vez resultas más cómico. Una lástima, porque tenía curiosidad por un ente tan inteligente como tú, y al final serás otro profesor frustrado resabidillo.

Por el invierno te buscaré en mathscinet en mis ratos tristes.

Galoisiano-Abeliano dijo...

Vamos a ver señores: Tomar un límite no es cálculo integral. Desde tiempos inmemoriales se sabe que el círculo tiene longitud y no se puede definir la longitud de una curva no poligonal sin un paso al limite. Si alguien sabe de un método que no utilice un paso al límite que me lo diga.

Estamos todos de acuerdo que los griegos (por ejemplo) sabían que definir la longitud del círculo sin necesidad del cálculo integral ni el cálculo de integrales. No nos comamos el coco. El que mete bulos y no cumple con lo dicho es Sampedro en su blog. Aquí somos científicamente honestos...dentro de nuestros posibilidades...



Wokkie: No seas tan egocéntrico y tan frustrado. A nadie le importa como se escribe su nombre.

Muy buen matemático tampoco debes serlo. De hecho hay un punto débil en el argumento que un buen Matemático hubiese detectado. Las medidas de Hausdorff son sólo semicontinuas respecto a la convergencia de Hausdorff. Hay que dar un argumento (no muy difícil) para demostrar que el rectángulo límite tiene longitud P/2 y no algo menor...veis tampoco aquí somos totalmente honestos...

Anónimo dijo...

Que no, hijo, que no: el que no hagas explícito el cálculo integral no significa que no lo hayas hecho. Está en tu cálculo del área: no sólo es un límite, es el límite de una suma de áreas infinitesimales, ergo, una integral.

Lo que has hecho es una demostración sin gusanitos de integral, eso sí. Pero el gusanito es sólo un modo de abreviar la operación que te indico.

Tú mismo, en todo caso: yo trataba de hacerte ver una cosa que se te había pasado desapercibida. Y que se te sigue pasando, a lo que se ve.

Que tengas buen día.

Anónimo dijo...

Por cierto, quien inició el "cálculo integral" fue Fermat medio siglo antes que Newton y Leibnitz. A ti también te conviene leer algo más de historia de las matemáticas.

Galoisiano-Abeliano dijo...

No seré yo que niegue las contribuciones de Fermat. Sin duda la historia matemática anglosajona ha disminuido el papel de Fermat, pero es muy difícil trazar el origen de las teorías. Siempre podemos encontrar a alguien "que lo hizo antes". Si tomamos el punto de vista del "profesor de secundaria" está claro que fue Eudoxus el que creo el cálculo integral.

koki: Gracias por el consejo. A todos nos hace falta leer más Matemáticas. A unos más que a otros. ¡Buena lectura del blog!