Esto no es una palabra

El lenguaje matemático es algo que algunos consideran irrelevante y otros fundamental. Nosotros nos situamos en el segundo grupo. Se sabe bien que un simple vistazo a las notaciones y la estructura verbal utilizadas es revelador del nivel de cualquier texto matemático. Muchas veces el progreso conceptual en Matemáticas se basa en desarrollar buenas notaciones, así como en obtener representaciones concretas de los nuevos objetos abstractos. El Cálculo Infinitesimal, con sus notaciones diferenciales e integrales, es un buen ejemplo. Marca sin duda el despegue del análisis del estado naciente en que lo dejaron los griegos. Otro ejemplo destacable es la representación geométrica de los números complejos por puntos en el plano. Fue un gran salto cualitativo en su comprensión desde su introducción por la escuela italiana en la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Un ejemplo anterior es la geometrizacón de los números positivos mediante longitudes geométricas. Los babilonios, aunque sabían aproximar la raíz cuadrada de 2 (como lo demuestran numerosas tablillas de arcilla que se han recuperado), aborrecian los irracionales así como los racionales sin representación sexagesimal finita. El infinito siempre ha causado vértigo.

Es necesario distinguir claramente entre el lenguaje y la estructura de los razonamientos lógicos. El teorema de Incompletitud de Gödel es una observación, relativamente simple y astuciosa, que todo sistema axiomático que contenga los axiomas de Peano (que sirven para construir los enteros) contiene proposiciones no decidibles. Esto significa que ni ellas ni su negación son demostrables. Y "demostrables" se entiende en término de las reglas de demostración clásicas.

La principal pega de estas reglas de demostración clásicas es su finitud. El número de proposiciones que podemos demostrar a partir de un sistema finito de axiomas y un lenguaje finito es numerable (esto es, son infinitas pero no más infinitas que los enteros. Lo cual es el infinito "más pequeño" que podemos imaginar). Podemos asociar de forma única un entero a cada demostración. Este es el punto de partida de Gödel. Obviamente, para los que creemos en el papel fundamental de la imaginación en Matemáticas, esto es completamente inadecuado. La creación divina no es numerable y la inventiva humana también traspasa los rígidos marcos de la numerabilidad. Desde este punto de vista, el teorema de Gödel es perfectamente natural. Es chocante que un Hilbert cayese en la falacia de los Principia Mathematica.

Personalmente no nos asustan ni recusamos las proposiciones indecidibles. Preferimos considerarlas como Proposiciones mal planteadas respecto a la axiomática, lo cual puede ser debido a una axiomática deficiente.

Las reglas de la lógica tienen sus trampas. Una vez entendido el teorema de Gödel y la existencia de proposiciones indecidibles, deberíamos seguir la propuesta intuicionista excluyendo de nuestras demostraciones todo razonamiento por el absurdo ("reductio ad absurdum"). En ese tipo de demostración (que ya hemos visto anteriormente en la demostración de la irracionalidad de 2) suponemos que la conclusión no se verifica y mediante razonamiento lógico llegamos a una contradicción. Luego lo que queríamos demostrar debe ser cierto, y eso acaba la demostración. El "debe" es una falacia considerando el teorema de Gödel. Podría ocurrir que nuestra proposición fuese indecidible. Luego que no sea falsa no significa que sea cierta en el sentido que pueda derivarse de nuestros axiomas. Los intuicionistas (con el topólogo Bouwer, el del Teorema del punto fijo, a su cabeza) no admitían las demostraciones por el absurdo.

Sin embargo, la mayoría de textos matemáticos se salvan pues en el 99.99% de las ocasiones, las demostraciones por el absurdo pueden reescribirse como demostraciones directas. Es siempre un ejercicio interesante el hacerlo. Pero...¿siempre?

Desgraciadamente no siempre. Todos los estudiantes de Matemáticas han visto la demostración increible que el cardinal de el conjunto de partes de un conjunto es siempre mayor que el cardinal del conjunto (por ejemplo, el conjunto de sucesiones de enteros es no numerable). Recordemos la demostración. Si A es el conjunto y P(A) es el conjunto de partes, supongamos por el absurdo que existe una biyección (esto es, una correspondencia biunívoca) f:A->P(A). A continuación consideremos el subconjunto B de A formado por los elementos x en A tales que x no sea elemento de f(x) (sin duda hay que ser un poco retorcido para definir un tal conjunto). Entonces sea b en A tal que f(b)=B. Por una parte podemos ver que si b no está en f(b) entonces b está en B (por definición de B), pero entonces b no estaría en f(b)=B (por definición de B de nuevo). Absurdo.

¿Alguien sabe demostrar esto sin recurrir al absurdo? El que lo sepa que nos lo cuente.