martes, 14 de agosto de 2007

Las tres montañas

La independencia del quinto postulado de Euclides (Por todo punto externo a una recta pasa una única recta paralela) de los otros axiomas de la geometría euclidea es otro de los problemas clasicos resueltos durante el siglo XIX.

En geometría euclidea la suma de los ángulos de un triángulo es el ángulo plano (demostrarlo). Esto se deduce del quinto postulado de Euclides. Y se puede demostrar que le es equivalente.

¿Cómo se demuestra que un axioma es realmente independiente de los demas? Para ello es necesario demostrar la existencia de otra teoria que satisfaga todos los otros axiomas excepto este. Lobachetski y Bolai (hijo) desarrollaron independientemente estas geometrias no-euclideas. De nuevo en esto se cita y da crédito a Gauss de forma bastante gratuita. No publicó realmente trabajos sobre este problema.

Estas geometrías fueron calificadas de "imaginarias" pues se desarrollaron sin un modelo concreto. Con el proceso de maduración que ya conocemos, el problema fue totalmente resulto en cuanto se explicitaron representaciones concretas de estas geometrías. Esto vino más tarde de la mano de Beltrami y Poincaré.


La dificultad del problema consistía en imaginar geometrías distintas de la euclidea: Había que reemplazar rectas por geodésicas. Estás geométrías son abundantes: En la superficie de la esfera tenemos ejemplos de geometría de curvatura positiva, y en la del hyperboloide de revolución (figura) de curvatura negativa.

Más tarde Klein entendió la esencia de las geometrías mediante sus grupos naturales de transformaciones. También antes Riemann dio un paso de gigante al concebir, por primera vez en la historia, geométrías intrinsecas, esto es, que no necesitan estar embebidas en un espacio euclideo (esta es la conclusión a la que se llega después de descubrir como trabaja con métricas finslerianas no Riemannianas en su célebre discurso inaugural).

Ejercicio de reflexión: Entender que distingue al círculo euclideo en el plano del segmento [0,1] después de identificar 0 y 1. Si viviesemos en un mundo uno-dimensionale y viviesemos en uno u otro círculo ¿Cómo lo sabríamos?

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