Esta propiedad seccional es bien conocida por los amantes del chorizo: cortando transversalmente obtenemos rodajas con forma de elipse (observemos que todo cilindro es un cono degenerado).
Más tarde, Apolonio de Perga escribió su tratado enciclopédico sobre las cónicas en ocho volúmenes, el último de ellos perdido para siempre. Las cónicas se dividen en tres tipos: Las elipses (acotadas), las parábolas (no acotadas ni asintóticas a rectas), y las hipérbolas (no acotadas pero asintóticas a dos rectas). Las elipses generalizan los círculos, y esto ha dado mucho juego.
Fagnano y Euler descubrieron que las integrales elípticas, que dan la longitud de arco de las elipses, tienen propiedades aditivas similares a las funciones inversas trigonométricas (a las que de hecho se reducen cuando la elipse es circular). Legendre estudió a fondo las funciones elípticas y similares, las cuales generalizaban las funciones trigonométricas clásicas. Su trabajo fue proseguido por Abel, Galois, Jacobi, Liouville, Riemann, Hermite,...dando lugar a algunas de las más ricas teorías de la Matemática moderna.
Las cónicas tienen interesantes propiedades que las hacen ubicuas, tanto en Matemáticas como en otras ciencias. Matemáticas y Astronomía eran indistinguibles hasta una época muy reciente. Apolonio planteó la teoría de los epiciclos como modelo de movimiento planetario. Esto es, un modelo de movimiento circular compuesto con otro movimiento circular cuyo centro evoluciona en el primer círculo. Pero cómo descubrió Kepler y cuantificó Newton, los movimientos planetarios en el problema de dos cuerpos son cónicas. ¿Cómo se le pudo escapar esto a Apolonio, nuestro gran especialista en cónicas ? Curiosamente nadie se plantea seriamente esta pregunta...
De nuevo vemos precipitarse a regimientos de historiadores en un pozo de ignorancia juzgando la ciencia pasada con un complejo de superioridad otorgado por la ciencia moderna. Les vemos reirse del "error pueril" (sic) de los astrónomos griegos, y ensalzar el avance de Kepler. Sin embargo...en realidad...ríen de su propia ignorancia como vamos a ver.
En efecto, cuando hay más de dos cuerpos, el sistema no es integrable tanto desde el punto de vista de la resolución de las ecuaciones diferenciales como desde el punto de vista dinámico (explicaremos esto más adelante). Es lo que ocurre en el sistema solar, el principal sistema, junto con el del tierra-sol-luna, que interesaba a los griegos (y de los que tenían mediciones precisas desde hacía cientos, sinó miles, de años). Los movimientos reales de los planetas en el sistema solar son cuasi-periódicos. Son perturbaciones de las trayectorias elípticas ideales (que son casi círculos, esto es elipses con muy pequeña excentricidad) de los sistemas binarios planeta-sol. El modelo de los epiciclos aproxima mucho mejor el movimiento real que el del movimiento elíptico. Sobre todo teniendo en cuenta que se pueden construir epiciclos de orden mayor (esto es superponiendo más movimientos circulares pequeños).
¿A qué les suena a ustedes esto de superponer movimientos periódicos? Si señores...los modelos refinados de los epiciclos no son, ni más ni menos, que el analisis de Fourier moderno. Sobre todo el modelo es infinitamente refinable dando cuenta de las mediciones. Todo esto no sólo es válido para el sistema tierra-sol-luna, sinó que incluso es mucho más cierto por la mayor perturbación solar en el sistema binario tierra-luna.
De esto concluimos que el progreso de la teoría de Kepler fue más de orden conceptual que práctico. Y se demostró a posteriori con la teoría de gravitación universal de Newton.
Finalmente queremos concluir intentando explicar algo la noción de integrabilidad. Las elipses pueden definirse no sólo como secciones cónicas, pero también como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. De esto se puede demostrar que en una mesa de billar, si tenemos un agujero en un foco, no importa como lancemos la bola desde el otro foco, esta caerá en el agujero después de rebotar contra la pared. Ejercicio (muy bueno) para el lector: Demostrar esta propiedad utilizando unicamente la definición de elipse que acabamos de dar y la desigualdad triangular (¡prohibido usar coordenadas!).
Dada una mesa de billar convexa y sin agujeros esta vez, podemos estudiar la evolución de una trayectoria que rebota en el borde según la ley de reflexión de Descartes (mismo ángulo de incidencia y de salida con la tangente en el punto de impacto. Suponemos que hay tangente en todo punto). El movimiento puede ser más o menos complicado. Ejercicio: Aunque no haya tangente en todo punto, ¿Qué pasa en un cuadrado? ¿Y en un polígono regular que enladrilla el plano?
En una elipse tenemos la propiedad sorprendente siguiente: Los puntos de impacto de toda trayectoria se ordenan circularmente en la elipse igual que la órbita de un punto de un círculo por una rotación (el ángulo de rotación depende de la trayectoria y se llama el número de rotación). Ejercicio (no es tan fácil): Demostrar esta propiedad. Todos los billares que tengan esta propiedad se llaman integrables (pero la noción de sistema hamiltoniano integrable es otra que se generaliza a la Mecánica Celeste. Newton demostró que el problema de dos cuerpos era integrable, y Poincaré que él de tres cuerpos no lo era para casi todas las elecciones de masas. El problema para cualquier distribución de masas sigue abierto).
Conjetura de Birkhoff: Los únicos billares integrables son los elípticos.
Esta conjetura continua sin demostración hoy en día. Por cierto, que para el óvalo en forma de estadio se sabe que no es integrable.
Siguen dando juego las elipses...
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